共同研究・競争的資金等の研究課題

• 基盤研究(B), 2014年04月01日 - 2017年03月31日, 26287017, フラクタルにおける代数的・幾何学的構造と解析の相互的な関わりの研究, 木上 淳; 相川 弘明; 桑田 和正; 日野 正訓; 角 大輝; 秋山 茂樹; 宍倉 光広; 熊谷 隆; 梶野 直孝; 小谷 元子; 亀山 敦; 太田 慎一; 伊藤 俊次; 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 京都大学, 16380000, 12600000, 3780000, 自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。, kaken

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• 基盤研究(B), 2011年04月01日 - 2014年03月31日, 23340025, フラクタルの内的構造を巡る数学の諸分野の相互作用, 木上 淳; 亀山 敦; 相川 弘明; 伊藤 俊次; 日野 正則; 宍倉 光広; 熊谷 隆; 長田 博文; 小谷 元子; 服部 哲弥; 高橋 智; 桒田 和正; 若野 功; 久保 雅義, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 京都大学, 18590000, 14300000, 4290000, 本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。, kaken

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• 基盤研究(B), 2008年 - 2010年, 20340017, フラクタルの数学的諸相, 木上 淳; 宍倉 光広; 熊谷 隆; 相川 弘明; 亀山 敦; 日野 正訓; 伊藤 俊次; 長田 博文; 小谷 元子; 服部 哲弥; 高橋 智; 〓田 和正; 若野 功; 久保 雅義, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 京都大学, 18850000, 14500000, 4350000, 本研究では、フラクタルに関する数学的基礎理論を多様な視点から研究した。フラクタル上の解析的構造(確率過程など)から導かれるフラクタルの内的な幾何的構造を明らかにし、その幾何学的構造を用いてフラクタル上の確率過程の漸近挙動、フラクタルを境界とする領域上の関数の境界での挙動などなどを詳しく調べた。, kaken

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• 基盤研究(C), 2007年 - 2009年, 19570020, 水生動物の左右性のダイナミクスと遺伝システムの進化, 高橋 智; 和田 恵次; 堀 道雄; 幸田 正典, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奈良女子大学, 4420000, 3400000, 1020000, 左利き遺伝子を持つ卵が左利き遺伝子を持つ精子と受精するのを阻止する不和合性遺伝子を考えた遺伝モデルにより,左利きホモが存在しないということ魚類の飼育交配実験の結果を説明した.捕食者が逆の利きの餌を捕食する交差捕食により左右性の比率が振動するとき,グループ産卵を行う魚でこの不和合性は有利となり進化する.また,ペア産卵を行う魚では不完全な不和合性が進化する., kaken

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• 基盤研究(C), 2002年 - 2004年, 14540578, チゴガニの高度ななわばり維持行動-バリケード構築行動を生む要因, 和田 恵次; 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奈良女子大学, 3500000, 3500000, 干潟に生息するチガガニが示す特異ななわばり維持行動であるバリケード構築行動を生む要因を検討し、3年間の研究から次の点が明らかにされた。
  1.バリケード構築頻度と外的要因
  バリケード頻度は繁殖期に増加するが、潮汐条件とは対応しなかった。またその頻度は周辺個体の密度とも相関しないし、すみ場所の底質条件が大きく異なる2地域の間でも違いがみられなかった。
  2.バリケード構築と配偶相手獲得との関連性
  つがい形成雄と非つがい形成雄の問で、近隣個体へのバリケード構築率を比較したところ、つがい形成雄の方がバリケード構築率が有意に高かった。このことから、バリケード構築行動が雄の雌獲得のための配偶行動と結びついたものであることが示された。
  3.バリケード状構築物に対する忌避傾向の種間比較
  バリケード構築行動を示すチゴガニと、まったくこの行動を示さない近縁のハラグクレチゴガニとコメツキガニの3種について、バリケード状構築物に対する忌避傾向を比較したところ、チゴガニは、他の2種に比べて明らかに、その忌避傾向が強かった。
  4.数理モデルからの説明
  バリケード構築のゲームモデルを作り、戦略の頻度のダイナミクスを調べたところ、バリケードを造られるコストを、バリケードの頻度に対して急激に増大させることで、一部の個体だけがバリケードを造るという解が得られたが、その解は漸近安定とはならなかった。このモデルに、バリケードの頻度によってバリケードを壊す壊さないを切り替える戦略を導入することで、一部の個体だけがバリケードを造るという解が安定となった。さらにバリケード構築行動の生活史戦略モデルを作り、そこでESSを求めたところ、バリケード構築頻度は繁殖期に増大し、野外のデータとよく合う結果を導くことができた。, kaken

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• 基盤研究(C), 2000年 - 2003年, 12640120, 多変数マルチフラクタル解析, 高橋 智; 藤原 彰夫; 鈴木 讓; 鴨 浩靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奈良女子大学, 3600000, 3600000, これまで,特異性スペクトル,自由エネルギー等のマルチフラクタル関数は,1変数のものが考えられてきたが,多次元の力学系の不変集合は方向により拡大率が異なり,1変数のマルチフラクタル関数では十分にその特徴を記述することができない.
  本研究では方向によって縮小率の異なるフラクタル集合として,自己アファイン集合を考え,その上での不変測度に対して2つの特異性を変数としてもつ特異性スペクトル,及び2つの逆温度パラメータをもつ自由エネルギーを定義した.ある条件のもとで自由エネルギーの2つのパラメータでのルジャンドル変換が特異性スペクトルと一致することを示した.
  また,3次元の自己アファイン集合に対して,2つの次元を変数としてもつ次元ペクトル,及びそれに対応した自由エネルギーを定義した.3次元自己アファイン集合上の自然な測度を平面上に射影したものは,2次元のアファイン変換の族に対して不変となり,その2変数特異性スペクトルと測度の自由エネルギーのルジャンドル変換とが一致し,その結果,次元スペクトルとその自由エネルギーの変形ルジャンドル変換とが一致することがわかる.このことから,3次元自己アファイン集合のハウスドルフ次元を縮小率の対数の比2つを逆温度としてもつ自由エネルギーとして表すことができる.
  これらの結果をより高次元に拡張することで,3変数以上のマルチフラクタル関数とそれらの間のマルチフラクタル公式,及び3変数以上の次元スペクトルの同様な性質を示すことができる., kaken

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• 基盤研究(C), 1999年 - 2000年, 11640115, 量子情報理論における操作的方法, 藤原 彰夫; 真鍋 昭治郎; 杉本 充; 榎 一郎; 竹腰 見昭; 山本 芳彦; 高橋 智; 山崎 洋平, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 3600000, 3600000, 本研究では,量子情報理論の中でも特に漸近理論に基づく操作的方法を確立することを目的とし,(a)種々の量子エントロピーの新しい操作的特徴づけ,(b)量子通信路の同定問題,の2点を具体的課題として研究し,以下の結果を得た.
  (a)pをHilbert空間H上の互いに平行でない単位ベクトルからなる可算集合に台を持つ確率測度,p^<(n)>をpのn次iid拡張として定義されるH^<【cross product】n>上の確率測度とし,p^<(n)>に従うL^<(n)>個の確率変数X(1),...,X(L^<(n)>)を考える.そして,これらのベクトルが互いにどの程度直交しているかを表す「漸近的直交性」の概念を何通りか定義し,各条件の下でL_nをnと共に増加させたときのlim sup_nlog L_n/nの上限(直交性容量とよぶことにする)を調べた.まず,「X(1)が他のベクトルとほとんど直交している」という状況を表す第1種漸近的直交性の下での直交性容量は,pが定める密度作用素ρのvon Neumannエントロピーと一致することを明らかにし,その系として,Hausladen et al.によるノイズのない量子通信路符号化定理の別証明を導いた.一方,「X(1),...,X(L^<(n)>)が互いにほとんど直交している」という状況を表す第2種漸近的直交性の下での直交性容量は,ρの2次量子Renyiエントロピーと一致することを明らかにした.
  (b)量子2準位系に対する等方的デポーラリゼーション通信路Γ_θを,Stokesパラメータ空間上の写像(x,y,z)→(θx,θy,θz)で定義する.ここに,通信路の完全正値性よりθ∈[-1/3,1]である.この通信路の族に対するパラメータ推定問題を,拡大次数2までの範囲において,非可換統計学の観点から論じた.その結果,最適な推定方法として,1/√3【less than or equal】θ【less than or equal】1ではГ_θ【cross product】Г_θに最大エンタングルド状態を入力するのが最適,1/3【less than or equal】θ【less than or equal】1/√3ではГ_θ【cross product】Г_θにテンソル積状態を入力するのが最適,-3/1【less than or equal】θ【less than or equal】1/3ではГ_θ【cross product】Idに最大エンタングルド状態を入力するのが最適,と3通りに分岐するという驚くべき結果を得た., kaken

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• 萌芽的研究, 1998年 - 1999年, 10874023, ノンランダム確率過程の応用, 釜江 哲朗; 高橋 智; 伊達山 正人, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 1700000, 1700000, ブラウン運動は、その法則が1/2次の自己相似性をもった加法過程として特徴付けられる.ブラウン運動B_tを用いた確率過程X_t=H(B_t,t)でH(x,t)がxに関して2回連続微分可能でtに関して1回連続微分可能なものは伊藤過程と呼ばれ,.よく研究されており,また,株価変動のモデル等として広く用いられている.この確率過程の増分は無限大のエントロピーをもっており,現実のモデルとしては,実際以上にランダムネスを含み不適切との指摘もされている.自己相似性をもつ確率過程の定常増分のエントロピーは0か無限大であることが知られている.
  本研究では,0エントロピーの定常増分と1/2次の自己相似性をもつ唯一エルゴード的な確率過程の一つであるN-processN_tを考察した.これは,従来知られていなかった決定論的な(deterministic)自己相似確率過程であり,無相関な増分をもち,ブラウン運動との類似性もある.これをブラウン運動の代わりに用いた確率過程X_t=H(N_t,t)に関して,過去のデータから如何にして未来を予測するかという問題を考察し,ブラウン運動の場合と異なり非常によい予測が成立することを示した.これは例えば、位相が不明の異なる周期の様々な周期関数の和の時間的累積として表現されるような現象で、自己相似性をあわせもつものに対する確率過程としての定式化でもある., kaken

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• 基盤研究(B), 1997年 - 1999年, 09440032, ケーラー多様体の変形の高次元擬等角写像による研究, 榎 一郎; 満渕 俊樹; 長瀬 道弘; 臼井 三平; 高橋 智; 作間 誠, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 12500000, 12500000, コンパクトケーラー多様体が、射影代数多様体まで変形可能かどうかは、小平の埋め込み定理と複素構造の変形理論、特にケーラー多様体の変形安定性定理、の出現以来、すなわち、1960年代以来の問題であった。小平の埋め込み定理により、コンパクトケーラー多様体は、有理周期をもつケーラー類を持てば、射影代数多様体である。また、ケーラー多様体の変形安定性定理により、コンパクトケーラー多様体の複素構造を微少変形させても、再び、ケーラー多様体となる。このとき、ケーラー類も連続に変形させることができ、その周期も連続的に変化する。そこで、うまく変形させれば、ケーラー類を有理周期をもつように変型できる。すなわち、コンパクトケーラー多様体を射影代数多様体に変形できるのではないかと、多くの人が考えた。しかし、この複素構造の微少変形によるケーラー類の周期の変化を調べるアプローチは、成功していない。
  我々は、上述の問題に対し、直接的なアプローチを試み、成功した。まず、コンパクトケーラー多様体から複素射影空間への、正則に十分近いC^∞埋め込みを、C^∞直線束係数のDirac型作用素の解を用いて構成する。次に、この埋め込みの像が複素射影空間の複素部分多様体であることを示した。この埋め込み写像が、研究課題にある高次元擬等角写像である。さらに、この埋め込みの像が、元のケーラー多様体の微少変形になっていることを示した。
  さらに、我々の証明は、ケーラー類に収束する有理周期コホモロジィ類の列が、このケーラー多様体に収束する射影代数多様体の列上の有理偏極(の列)の微分同相写像による引き戻しとして得られる十分条件を与える。特に、変形剛性をもつコンパクトケーラー多様体は、Picard数が最大の代数多様体であることが、解った。, kaken

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• 基盤研究(A), 1997年 - 1999年, 09304009, 曲線と局面の大域解析, 小磯 憲史; 坂根 由昌; 難波 誠; 臼井 三平; 山崎 洋平; 西谷 達雄; 梅原 雅顕; 高橋 智; 竹腰 見昭, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 27400000, 27400000, 平均曲率一定局面について、安定なものから不安定なものに移る時点でどのようなJacobi場が出現するかを、回転対称な局面の族に関して調べた。その結果、現れるJacobi場は回転対称なものが基本的であるが、例外的に回転対称でないJacobi場も現れることを見いだした。単に対称でないというだけのJacobi場の存在は簡単にわかるが、それが安定臨界において現れるということはいわゆる「対称性の破れ」が数学的モデルにおいてもかなり一般的であることを例証している。
  平面上に自由境界をもつ安定な平均曲率一定局面が半球面に限ることを証明した。与えられた境界をもつ平均曲率一定曲面が一意的であるための、境界及び曲面の大きさに対する十分条件を求めた。
  いくつかの等質空間上で変分問題の解であるアインシュタイン計量を分類した。この分類において、複雑な代数方程式を単純化すること、最終段階では、効率のよい数式処理による代数方程式の解法、が本質的である。
  コンパクトk-対称空間からコンパクト対称空間の上へのツイスター束はそのk-対称空間への有限型原始的写像をそのコンパクト対称空間への有限型調和写像へ投射される。
  一般の無限グラフのスペクトルの下限の新しい評価を与えて多くの無限グラフについてスペクトルの下限のシャープな評価を与えた。
  大域的なソボレフ・ベルグマン核はソボレフ次数についての解析接続が可能である。
  定数係数双曲型作用素のラキュナの非存在の定理。
  完備リーマン多様体の体積の増大度と最大値原理に関連する大森-Yauの結果の一般化。
  対称系に対する極大非負な境界値問題で境界行列の階数が一定でないいくつかの場合の弱解が強解となるための十分条件を与えた。, kaken

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• 奨励研究(A), 1997年 - 1998年, 09740144, 力学系の不変集合のマルチフラクタル解析, 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 2300000, 2300000, これまでマルチフラクタルとしての性質が厳密に調べられてきた測度は,多くの場合,準乗法的性質を持ち,その特異性スペクトルは全ての領域で自由エネルギーのルジャンドル変換と一致する(マルチフラクタル公式が成立する).準乗法的性質を持たない既約なソフィック測度に対して,特異性スペクトルの最大値を与える特異性の値よりも小さい領域で,マルチフラクタル公式が成立することを示し,また他の領域でマルチフラクタル公式が成立しない例を構成した.
  ソフィック測度のマルチフラクタル公式を使って,高次元の部分自己相似集合および2次元の部分自己アファイン集合の次元スペクトルの性質を調べ,次元スペクトルの最大値を与える次元よりも大きい次元の領域で,その自由エネルギーのルジャンドル変換と一致することを示し,また,部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元と次元スペクトルとの関係を明らかにした.
  また,自己アファインコサイクルに対して,Mandelbrot-van Ness変換によりその性質を連続的に変化させることが出来ることを示した.自己アファインコサイクルのこれまでの構成法では,可算個の次数のスケーリングしかとりえず,その結果ヘルダー指数,ボックス次元なども可算個に限られる.MandelbrotとVan Ncssは時間的な相関のないブラウン運動に対して時間的な相関を積分で与える変換を考え,非整数ブラウン運動を構成した.Mandelbrotとvan Nessの変換を自己アファインコサイクルに適用し,その結果がまた自己アファインコサイクルとなることを示した.これにより,0と1との間の任意の次数のスケーリングをもつ自己アファインコサイクルを構成することができる.また,このようにして構成した自己アファインコサイクルのヘルダー指数,ボックス次元,パワースペクトルなどを調べた., kaken

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• 基盤研究(C), 1997年 - 1998年, 09680367, MDL原理に基づくBayesian Networkの学習-事前知識の導入による探索の効率化-, 鈴木 譲; 佐竹 郁夫; 菊池 和徳; 高橋 智; 永友 清和; 村上 順, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 3300000, 3300000, 不確実な知識を確率を用いて表現し、何らかの推論を進めていく際に、Bayesian networkが頻繁に適用され、最近では、経営診断、医療診断、故障診断といった、分析診断型の問題に多くの実績を残している。Bayesian networkは、各属性データをノードで、その因果関係をノード間を結ぶ有向アークで示す、いわゆるDAG(directed acyclic graph)として表現される。特に、各ノードAの属性データx_Aは、有向アーク(A←B_i)を介して親にあたるノードB_iの属性データの値xB_i,i=1,2,・・・,m,を前提にした条件付値率P(x_A|x_B_1,,x_B_2,・・・,x_B_m)に基づいて生成されるという仮定がおかれる。すなわち、ノードの集合が事前に与えられれば、有向アークをどのように結ぶか(構造の決定)と、条件付確率をいかに設定するか(パラメータの推定)を検討して、Bayesian networkが決定される。Bayesian networkの推論は、一部のノードに事実として具体的な属性データを与えておき、他のノードの属性データの値をBayes統計学でいう事後確率最大の基準で推定する(未知属性データのおこりうる各値の確率を付与する推論も可能である。)処理に相当する。
  本研究では、推論を行なう前にBayesian networkを最初にいかに獲得するか、特にその構造の決定について議論をすすめた。Bayesian networkは視覚的に表現されるので、エキスパートがその知識を直接Bayesian networkの形式で記述してもよい。しかし、大規模なnetworkでは、その作業量が膨大になることと、エキスパートの潜在意識にある知識が表現されないことなどから、トレーニングデータからの自動学習が検討されるに至っている。本研究では、この問題についてminimum description length(MDL)原理に基づいて解決する方法を示した。一般に、MDL原理は、トレーニングデータを、知識の記述と、その知識に基づいたトレーニングデータの記述の2段階で記述し、その合計の記述長(ビット数)を最小にする知識を採択する。MDL原理は、前者を知識の記述長(知識の簡潔さを表す)、後者をその知識では説明できない例外の記述長(データの知識への適合性を表す)とみなせば、データ圧縮の立場からその両者について最もバランスのとれた知識を真の知識とみなす学習原理であるということができる。
  特に、構造決定の探索に分岐限定法を用いて、効率良く最適解を求める方法を見い出した。この結果は、電子情報通信学会論文誌英文誌分冊D(1999年2月)に掲載された。, kaken

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• 基盤研究(A), 1996年 - 1998年, 08304041, 琵琶湖淀川水系における魚類群集の構造と左右性の動態, 堀 道雄; 高橋 智; 松田 裕之; 幸田 正典; 遊磨 正秀; 山岡 耕作; 西田 睦, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 京都大学, 3200000, 3200000, 本研究では,最近発見された魚類の左右性に焦点を当て,それが種内・種間関係においてどのように働いているかを精査し,またそれによって群集内での種間関係の動態を新しい観点から解明した.すなわち,琵琶湖水系に生息する魚類について,野外でのサンプリングによる各魚種の左右性の比率の観測,形態学的な検討,実験室での飼育による遺伝様式の解明,数理モデルによる左右性の動態のメカニズムの解明と予測を行った.
  琵琶湖産の魚類7種について左右性の比率を4年間追跡したところ,どの種の比率も数年周期の振動を示唆していた.また,1995年のサンプルで,年級群に分けることができるほど大量に採取された魚種について,年級群ごとの左右性の比率を算出したところ,その比率も数年周期で振動していることを強く示唆していた.また,食性の近い種の比率は同調する傾向が認められた.さらに,捕食-被食関係にある代表的な2種,アユとハスについての比率を詳しく検討したところ,やはり数年の周期で振動していた.ただしこの2種の振動の関係を詳しく検討するには,さらに何年かの継続観察が必要である.京都大学生態学研究センターに保存されているイサザのサンプル15年間分を検討したところ,本種の左右性も数年周期で,比率0.4から0.6の間を振動していることが確認された.
  左右性の遺伝様式についてカワヨシノボリを実験室で繁殖させ,その親子での比率を検討したところ,優性ホモ個体が致死の1遺伝子-2対立形質の遺伝であることが示唆された.種間関係に応じて左右性の比率が変動するメカニズムについて数理モデルを構築し,解析的な検討を行った.それによると,肉食魚の個体群において,少数派の利き手が多数派の利き手に対して2倍以上の繁殖成功度を得るならば,左右性の比率は振動すること,また,肉食魚の左右性の比率は食性グループごとに同調して振動することが示された.後者のメカニズムとしては,捕食者の少数派の利き手個体は,種の違いを越えて少数派ゆえの利益を共有するためと考えられた.
  これらの結果から,これまで見過ごされてきた左右性という種内多型が魚類では普遍的現象であり,またその多型は群集内の種間関係によってダイナミックに維持されていることが明らかとなった., kaken

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• 国際学術研究, 1996年 - 1997年, 08041155, アジアの多雨林におけるフタバガキ科とブナ科のニッチ分化, 山倉 拓夫; 渡邊 幹雄; 田村 実; 大久保 達弘; 原 正利; 神崎 護; SARAYUDH Bu; KRIAGSAK Sr; PRICHA Dhan; SYLVESTER T; PONGSAK Sah; 高橋 智; 柴田 耕造, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 10900000, 10900000, 1.サラワク低地熱帯林のフタバガキ科についての調査研究
  ランビル国立公園の52haプロット内のフタバガキ科の分布パターンの解析を行い,73種9亜種のフタバガキ科のうち,73%の種が地形依存性を示し,地形的なすみわけ関係の存在が多種共存に貢献している可能性に高いことが明らかとなった.また同様の解析を非フタバガキ科について行っても,同様の結果が得られた.航空写真と地上での調査を組み合わせて,ギャップの形成頻度と回復速度の推定の推定を行い,地滑りで形成されるギャップと,倒木で形成されるギャップとが発生頻度や撹乱後の回復過程を異にしており,更新ニッチの多様性の存在することを明らかにした.今後このような更新ニッチの多様性が,群集の多様性維持にどのように貢献しているのかを明らかにする予定である.フタバガキ科のDryobalanops属は52ha調査区内で地形的にすみわけている2種を有しているが,この2種について分子遺伝学的な調査を行い,種内の遺伝的分化が52ha調査区内でも進んでいることと,2種の遺伝的な距離が近く,種の分化とニッチの分化が最近生じたものである可能性の高いことが明らかとなった.
  2.タイ山地林のブナ科についての調査研究
  ブナ科については,タイのドイインタノン国立公園に15haの調査区を設置し,このうち7.5ha区画内での毎木調査と3ha区画内での同定作業を終了した.さらに更新ニッチ分割の解析のために,調査区内でのギャップの分布調査を3haの調査区内で終了した.予備的解析結果からはブナ科の内部に,地形依存的な分布や,ギャップ依存的な分布を示す種の存在することが確認された.今後ブナ科の内部でのニッチ分割の様子を定量的に解析する予定である。, kaken

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• 奨励研究(A), 1996年 - 1996年, 08740142, 次元スペクトルを用いたフラクタル集合の解析, 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 1100000, 1100000, フラクタル集合の断面の次元は,これまで測度1の集合で計算されてきた.断面の次元の分布のより詳しい指標として,次元スペクトル(それぞれの次元の値をとる断面の集合のハウスドルフ次元)がセルオートマトンの極限集合および部分自己アファイン集合に対して計算された.断面の次元は,フラクタル集合上の自然な測度を断面に垂直な軸へ射影して得られる測度の特異性と対応し,次元スペクトルは特異性スペクトル(それぞれの特異性の値をとる点の集合のハウスドルフ次元)と対応している.これらの集合では,射影した測度はソフィック測度(有限個の非負行列から構成される測度)となっている.ソフィック測度の特異性スペクトルが特異性の小さい側で自由エネルギーのルジャンドル変換として表されることから,次元スペクトルもまた,断面の次元の大きい側で,自由エネルギーをルジャンドル変換に類似した変換で表されることがわかる.
  ソフィック測度から,それぞれの特異性を持つ集合の測度が1となるギブス測度の族が構成できるが,そのフラクタル集合上への引き戻しを考えることにより,部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元が断面の次元と次元スペクトルの和の最大値で下から評価できる.また,次元スペクトルが自由エネルギーの疑似ルジャンドル変換として表されることから,逆温度を部分自己アファイン集合の次数(縦方向の縮小率の対数と横方向の縮小率の対数との比)とした自由エネルギーが断面の次元と次元スペクトルの和の最大値と一致し,また,逆温度が次数のギブス測度の引き戻しの特異性を考えることにより,この自由エネルギーの値で部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元が上から評価できる.したがって,部分自己アファィン集合のハウスドルフ次元が断面の次元と次元スペクトルの和の最大値と一致することがわかった., kaken

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• 基盤研究(C), 1996年 - 1996年, 08640114, 階数2の不連続群と3次元多様体, 作間 誠; 高橋 智; 渡部 隆夫; 小磯 憲史; 臼井 三平; 伊吹山 知義, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 2100000, 2100000, 1。カスプ付双曲多様体内の最短垂直測地線の研究。
  秋吉宏尚、中川義行との共同研究により、ホワイトヘッド絡み目補空間の(一方のエンドに関する)双曲的デーン手術で得られるカスプ付双曲多様体内の最短垂直測地線を決定し、それが、解消トンネルになっていることを確認した。これは、「カスプ付双曲多様体内の解消トンネルはその標準的分解の辺と同位であろう」という予想を支持し、円周上の穴開きトーラス束に関してはその予想が肯定的でありことを導く。また、この結果は、穴開きトーラス束、及び2橋結び目補空間の標準的分解、ひいては基本群が2元生成である双曲多様体を理解するための最初の一歩に相当する。
  2。絡み目のザイフェルト曲面の研究。
  平澤美可三との共同研究により、特殊交代絡み目の最小種数ザイフェルト曲面を分類し、それらから構成される垣水複体の構造を完全に決定した。特に、その垣水複体は球体に同相であることが示せたので、「垣水複体は可縮であろう」という垣水の予想を特殊交代絡み目に対して証明したことになる。バークレーで開催された国際研究集会で共同研究者の平澤美可三がこの結果を発表したところ、垣水複体複体の概念を一般の3次元多様体の2次元ホモロジー類に対するものに一般化して考察してはどうかという示唆をGabai氏より受けた。この問題は今後の重要な研究課題である。
  3。絡み目の村杉分解の研究
  特殊樹状絡み目のザイフェルト曲面からホップバンドを村杉分解で取り出す方法を研究し、特別なクラスに対しては、それを完全に解明した。これを用いるとそのクラス内の結び目の結び目解消操作が分類できる。この研究を一般の樹状絡み目、ひいては一般の結び目、特にファイバー結び目に関して行うことは、結び目解消操作の研究、及びファイバー結び目に関するGabaiの予想との関連で非常に重要である。, kaken

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• 基盤研究(B), 1995年 - 1996年, 07454027, 対称系と強双曲系, 西谷 達雄; 高橋 智; 竹腰 見昭; 作間 誠; 難波 誠; 臼井 三平; 杉本 充; 榎 一郎; 長瀬 道弘, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 3100000, 3100000, 我々のとった研究計画,研究方法は概ね次のとうりであった.
  (i)対称化可能でない強双曲系はどのように特徴づけられるか.
  (ii)対称化可能な系の双曲摂動を研究する.
  (i)については以下の結果を得た.Lをm×mの一階偏微分方程式系とする.hでLの主シンボルの行列式を表わすとするとき,我々の得た結果は概略次のように述べられる:Lが強双曲系ならば,すべてのm-1次行列式印紙kに対しh+kに対するCauchy問題が適切となる.さらに考えている特性点zが包合的ならば,系が強双曲系となるためには,KerL (z) ∩ImL (z)={0}が必要である.このときLのKerLに沿ったテイラー展開は一次の項L_zから始まる.これはLをKerL上で近似するものでLの局所化と呼ばれる.さてzとwが各々系Lおよびその局所化L_zの特性点でさらに(z, w)が包合的ならば,Lが強双曲系であるためにはKerL_z (w) ∩ImL_z (w)={0}が必要である.
  (ii)については我々はまず,非退化特性点の概念を得た.zが非退化であるとはKerL (z) ∩ImL (z)={0}でL_zの次元が極大でさらにL_z (w)はすべてのwに対して対角化可能のときをいう.我々の得た主結果は双曲系は非退化特性点のまわりで対称化できるというものである.このことから非退化特性点の安定性が従う.すなわち,系に双曲摂動を加えても,非退化特性点は消えない.
  我々はこの研究をさらに推し進め次の結果を得た.Lをm×mの対称双曲系とする.今Lの次元がm (m+1)/2-m+2より大ならば,一般に,Lの双曲摂動は自明,即ち,摂動された系は再び対称化可能である., kaken

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• 奨励研究(A), 1995年 - 1995年, 07740152, ソフィック測度上のマルチフラクタル解析とその応用, 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 1000000, 1000000, 測度に対する数学的に厳密なマルチフラクタル解析は,これまで主にヘルダー連続なポテンシャル関数に対するギブス測度について行われてきた.ヘルダー連続なギブス測度を含む最も広いクラスとして,準乗法的測度に対してマルチフラクタル解析が行われている.本研究ではヘルダー連続性や準乗法的性質を持たないソフィック測度に対して,マルチフラクタル解析を行った.ソフィック測度が既約のとき,ソフィック測度を構成する部分遷移行列の積から性質のよいものを探すことにより,ソフィック測度に対応する非負の逆温度を持つギブス測度の族が構成されることと,それらが混合性を持つことが示された.また,同様にしてソフィック測度の自由エネルギーが存在することが示された.ソフィック測度で特定の特異性を持つ集合上でのギブス測度の特異性を考察し,ビリングスレイの定理を適用することにより,ソフィック測度の特異性スペクトルが評価できる.ソフィック測度の特異性スペクトルは,特異性スペクトルが最大値をとる特異性以下で自由エネルギーのルジャンドル変換で与えられることが示された.また,特異性スペクトルの最大値を与える特異性よりも大きな特異性では,一般に自由エネルギーよりも特異性スペクトルが小さくなる.このことは,これまで数学的に研究されてきた準乗法的な測度では生じない現象である.
  フラクタル集合の断面の次元の分布を特徴づけるものとして,次元スペクトルがある.フラクタル集合の次元スペクトルは,フラクタル集合上の一様な測度を射影して得られる測度の特異性スペクトルと関連づけられる.自己アファイン集合上の一様な測度の射影はソフィック測度となるので,ソフィック測度の特異性スペクトルについて得られた結果を用いて,既約な自己アファイン集合の次元スペクトルとハウスドルフ次元の性質が調べられた., kaken

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• 一般研究(C), 1995年 - 1995年, 07640112, 3次元多様体のへガード分解と群の階数, 作間 誠; 高橋 智; 梅原 雅顕; 竹腰 見昭; 榎 一郎; 伊吹山 知義, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 2400000, 2400000, 1.円周上の穴開きトーラス束の解消トンネルを完全に分類し、それが、Jprgensen,Floyd-Hatcherにより与えられたイデアル分解の“特別な"辺にアイソトピックであることを観察した。これは「解消トンネルはcanonical deccmpositionの辺にアイソトピックであろう」という予想を支持することになる。又、Jprgensenの未完成論文「On pairs of punctured tori」の結果を仮定すれば上記の結果はこの予想がトーラス束については正しいということを導びくため、Jprgensenの未完成論文を理解し証明を完成する努力をした。残念ながら証明を完成させることができなかったが、Jprgensenの基本的アイデアは理解できた様に思える。
  2.特別交代絡み目の最小種数がイフェルト曲面を完全に分類し、それから構成される垣水複体MS(L)の構造を決定した。特にその実現|MS(L)|はn次元球体に同相であることを示したので、これは垣水予想「|MS(L)|は可縮である」の部分的解決を導びく。
  絡み目のアーベル被服に関して以前得ていた結果、方法を複素曲面のアーベル分岐扱嚢の不正則類の研究に応用することにより、その不変量が“特別な"polynonial perrodiatyを持つことを証明した。, kaken

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• 国際学術研究, 1994年 - 1995年, 06041094, 大面積調査区を用いた種多様性の解析, 山倉 拓夫; 柴田 耕造; 渡辺 幹男; ERNEST Chai; LEE Hua Seng; 大久保 達弘; 高橋 智; 神崎 護; LEE HuaーSeng, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 14400000, 14400000, はじめに
  本研究は、サラワクのランビルの森に設定した世界最大の52ha調査区を用いて、未だ謎とされている熱帯雨林の高い種多様性を説明する論理を検討すると共に、種の多様性の保全と熱帯林修復のための基礎データを集めることを目的とする。
  ランビルの森と調査区
  ランビルの森は、マレーシア連邦サラワク州のランビル国立公園(北緯4°、東経114°)にある。調査地最寄りの測候所のデータでは、最乾月でも平均100mm/月の降雨があり、ランビルの森は乾季を欠く典型的熱帯雨林気候下にある。公園内には複数の森林タイプが認められ、各森林タイプの違いは第三紀の堆積岩由来の土壌母材の違いに対応している。主要森林タイプは砂岩および頁岩を母材とするアルティソル土上に成立する混合フタバガキ林である。52ha調査区は発達した林冠を持つ混合フタバガキ林内に設定した。
  複雑な地形
  調査区の地形は複雑で起伏に富み、調査区における標高の最高点と最低点の差は150mに達する。ヒプソダイアグラム上の積算土地面積と標高の関係は、調査区が急峻な斜面上部、なだらかな台地状の斜面中腹部、急峻で崖状の斜面下部から成ることを示した。調査区を1300個の20mx20m方形区に分け、各方形区毎に、標高、斜面方位、傾斜角、地形の凹凸度の地形変量を数学的に求めた。これらの地形変量の統計量は、調査区の地形が極めて複雑であることを示した。
  高い種の多様性
  調査区内の胸高直径1cm以上の材木358095個体の毎木調査から、1175種が記録された。この種数は日本産野生樹木の総種数1300に匹敵し、50ha大面積調査区が設定されているパソ-(西マレーシア)の1.5倍、BCI(パナマ)の3.8倍となった。上層に優占するフタバガキ科に限れば、その種数は86種となり、パソ-の森の同科の種数(30種)の2.8倍の値である。このことからランビルの森は、世界の熱帯雨林の中でも最も種の多様性が高い森林であるといえる。その理由として、好適な気候、複雑な地形、痩せた2つの土壌タイプ、豪雨に伴う地滑りなどの自然撹乱、歴史的理由などが考えられた。これらの理由は、気候と歴史的理由を除いて全て、相観や種組成が地形や土壌条件に依存して変動する現象と関わっている。
  相観の局所変動とその地形依存性
  種の多様性と相観(森林構造)は独立であり得る。相観を決める諸量として立木密度、胸高断面積合計、最大胸高直径、現存量、階層数の4変量をとりあげ、20mx20mの方形区ごとに4変量を計算した。4変量は方形区毎に激しく変化し、相観の局所変動を示唆した。方形区毎に求めた地形変量と相観変量に関する分散分析を行うと、相観は地形に依存して変化し、予測性が高いことが解った。
  種の空間分布の地形依存性
  調査区内での出現個体数が250個体以上で、かつ種同定結果の信頼性が高いフタバガキ科の種のデータを用いて、種の平面空間分布の局所変動を検討した。20mx20m方形区に出現する任意の種の個体数の地形依存性を分散分析の手法によって検定すると、地形に対して有意な個体数変動が認められなかった種(ゼネラリスト)と、有意な差が認められた種(スペシャリスト)が存在した。スペシャリストの存在は,地形が中立な環境条件でないことを示しており、群集多様性維持機構の説明仮説としてのニッチ説の有効性を示唆した。
  密度依存性
  20mx20m方形区の胸高直径データを用いて、個体の階層区分を行った。各層ごとに求めた平均胸高直径は各層の林木の密度の0.8乗に反比例して減少し、明確な密度依存性を示した。この現象もニッチ説の有効性を示唆している。
  遺伝子多様性
  アイソザイム分析によりリュウノウジュやオオバギなどの遺伝子解析を行うと、個体間の遺伝子交換は極めて小さな部分集団内で生じており、フェドロフが言及した遺伝子浮動が高い種多様性創設機構として有力であることが示唆された。
  結論
  上に述べた,相観および種の空間分布の地形依存性、個体サイズの密度依存性は、群集の多様性説明仮説として提案されている相対立する2つの仮説、群集平衡仮説および群集非平衡仮説の中、群集平衡仮説に有利な結果となった。また、遺伝子解析の結果は種多様性の創設仮説としての遺伝子浮動説を支持した。, kaken

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• 一般研究(C), 1994年 - 1994年, 06804005, 双曲的結び目のcanonical decomposition, 作間 誠; 高橋 智; 宇野 勝博; 臼井 三平; 伊吹山 知義; 真鍋 昭治郎, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 1900000, 1900000, 1. 森元勘治(拓殖大)、横田佳正(九大)との共同研究で、次の二つの研究成果を得た.
  (イ) トンネル数が1の結び目K_1、K_2で、その和K_1♯K_2のトンネル数が3となるものを具体的に構成した。
  (ロ) 与えられた結び目がトンネル数1を持つための条件を与え、それを用いることにより、10交点以下の結び目のトンネル数を完全に決定し、又Monfesinos結び目がトンネル数1を持つための条件を求めた。
  2. Elena Klimeuko(Novosibirsk)との共同研究により、Isom 1H^2の二つの元により生成される群が離散的となるための必要十分条件を求めた。応用として三角鏡映群の階数を決定し、これと上の1-ロの結果を合わせることにより、トンネル数1のMontesinos結び目を完全に決定した。, kaken

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• 一般研究(C), 1994年 - 1994年, 06640042, 保型形式の次元公式, 伊吹山 知義; 高橋 智; 真鍋 昭治郎; 臼井 三平; 長瀬 道弘; 小磯 憲史, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪大学, 2100000, 2100000, 有界対称領域の保型の次元について、その跡公式による公式について、次のような研究を行った。離散群の中心的巾単元の次元公式への寄与を、概均質ベクトル空間のゼータ関数の特殊値で記述すること、およびその特殊値自身の研究。ここでいう概均質ベクトル空間は有界対称領域の正則自己同型群を与える代数群の極大放物型部分群の巾零根基の中心のなす、形式的実ジョルダン代数から得られる物であり、ゼータ関数は、これに付随する凸体のゼータ関数である。跡公式自身のゼータ関数の特殊値による表示は、III型の領域の一部に付いては新谷よる結果が20年近く前に知られていたが、それ以外に付いてはほとんどなにも知られていなかった。今回、ポアソン公式等を収束を込めてくわしく見ることで、概均質ベクトル空間の一般論には含まれず、また記述もできないデータ積分の間の新しい関数等式を得、これによって古典対称領域についての中心的巾単元の寄与に付いては、かなり一般的な定理を得た。ある程度まともな離散群について、寄与はみなゼータ関数の0または負での値で書ける。これらの定理は、みな具体的に記述でき、実際に次元を求めるのに役立つ。また、特殊値については、研究としてはかなり別のカテゴリーにはなるが、いずれも実際に値が記述できる(というよりむしろゼータ関数自身が分かりやすい関数でかける)という数年来筆者が行っている研究によれば具体的な次元公式にかなり近づいたといえる。以上に付いて、IV型に力点をおいて、代数学シンポジウムで報告(7月愛媛大)、概均質の一般的枠内での理論の集大成に付いて研究集会で報告(10月京大)、また古典有界対称領域の次元公式について研究集会で報告(1月京大)をおこなった。, kaken

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• 一般研究(C), 1993年 - 1993年, 05640278, 飛躍型確率過程の極限定理, 小松 孝; 津島 行男; 原田 学; 高橋 智; 西尾 昌治; 藤井 準二, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 2100000, 2100000, 飛躍型の対称マルコフ過程には非局所ディリクレ形式が対応するが,その形式が,対称安定過程のディリクレ形式にある意味で類似であるとき,そのマルコフ過程を安定型過程と呼ぶことにする。この研究によって,かなり一般化した設定のもとで,安定型過程の推移確率の一様評価(すなわち,係数の正則性によらない,ヘルダー連続性の評価及び減少度合の評価)が得られた。これを周期的係数のディリクレ形式に対応する安定型過程の一様化問題に適用し,係数の連続性の仮定なしにその極限定理が成り立つことを示した。一様化問題はスモールパラメターを含むドライビング・ドリブン過程の極限定理の一種と考えることが出来る。その際,エルゴード的ドライビング過程の半群に対する解析的条件と共に,その確率過程の不変測度のある種の正則性が問題になる。このことを考察するには上記の推移確率の一様評価は有効ではなく,マルコフ過程の到達時間に関する評価が必要であり,レゾルベントの積分評価も必要である。これについて研究を行った結果,若干の成果を得たものの,当初の目標にはまだ到達していない。一方,研究分担者達によって,上記の内容に間接的に関係する形で,いくつかの成果が得られた。これらの成果は発表予定になっているものが多い。, kaken

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• 一般研究(C), 1993年 - 1993年, 05640213, エルゴード理論の解析学の様々の分野への応用, 釜江 哲郎; 高橋 智; 伊達山 正人; 藤井 準二; 小松 孝, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 2000000, 2000000, エルゴード理論のフラクタル図形への応用に関して特に成果があったのでこれを中心に報告する。Peano関数のように到る所微分不可能な連続関数のあるクラスは自己線形性をもっている。このような関数のクラスを拡張し、『フラクタル』関数と呼ばれるに値する可能な限り広いクラスを設定した。同時に、各々の関数はその定義域を實軸からそれを含む自然な領域(ある種のコンパクト化)へと拡張し、その上の移動力学系に関するコサイクルとして定式化した。このようにして得られるコサイクルのクラスは、scaling propertyをもつ最小コサイクルと呼ばれる。本研究では、このコサイクルのクラスについての研究をおこなった。その結果、(1)このようなコサイクルを保存するscaling全体が正数の全体であるか、または、ある正数の整数冪の全体かのいずれかである。(2)これが正数全体となる例が存在する。(3)コサイクルの容量がある大きさ以下の場合は、(1)における後者の場合となる。(4)コサイクルによって生成される力学上には移動に関して不変な確率測度が唯一定まる。この確率測度は自己相似性をもっている。
  以上の諸点が明らかとなった。, kaken

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• 重点領域研究, 1993年 - 1993年, 05257209, スケールイーターの種内多型と多種共存の機構の理論的研究, 高橋 智, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 1100000, 1100000, スケールイーターについては,同一種内での左右比の変動の研究を踏まえ、複数種のなかにそれぞれ左右非対称性の多型がある場合にどうなるかがモデルによって調べられた.その結果,一般に,それぞれの種での左右比の振動が種間で同調することが明らかとなった.計画班の堀氏らによって,この結果がフィールドのデータで確かめられることが,今後期待される.
  捕食被食関係による多型の維持と多種共存は,重点研究「地球共生系」のコアプロジェクトの,堀,松田,幸田氏らとの共同研究により,捕食共生という概念にまとめられた.これは,競争関係にある,捕食者どうし,あるいは,被食者どうしのあいだに,餌の警戒を分散させるなどの要因のため相利的な相互作用が働くことを指摘したものである.生物の多様性には,捕食共生が大きな要因として,働いていることが示唆された.捕食共生の特徴,タイプの分類などの研究が,現在続けられている.
  周期的変動が生態系に与える影響については,競争系での難波氏との共同研究の結果を発展させ,捕食被食関係を通じた間接効果により,2種の捕食者や餌が共存する条件が調べられた.捕食者餌系では,系の変化の速さを表わす特性振動数が定義され,それが周期的変動の振動数よりも大きい時(系の変化が速いとき)には,捕食者の共存がみられ,小さいとき(系の変化が遅いとき)は,餌種の共存がみられることが明らかとなった.
  また,計画班の山村氏の血縁者間のコンフリクト解消のモデルに対し,コンフリクトが解消された状態が不安定で,コンフリクトの勝者と敗者が一定の時間間隔で逆転する可能性のあることが,理論とシミュレーションにより明らかとなった., kaken

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• 一般研究(C), 1992年 - 1992年, 04640244, 非局所的放物型方程式に対応する確率過程の漸近理論, 小松 孝; 西尾 昌治; 高橋 智; 藤井 準二; 釜江 哲朗; 森本 治樹, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 大阪市立大学, 1900000, 1900000, ユークリッド空間X及びYを考え、x〓Xをパラメターに持つレビィ型の生成作用素L^x_2を与える。その作用素はY上の連続関数に作用するフェラー半群を生成し、その半群T^x_tは不変測度をρ^xとするエルゴード性をみたしているとする。一方L^y_0はy〓Yをパラメターに持ちX上の関数に作用するレビィ型の作用素であるとする。作用素【numerical formula】が定めるX×Y上のマルコフ過程{(x_t,y_t),P^ε_}をドリブン・ドライブ過程という。ドリブン過程{x_t,P^ε_}のε↓0のときの様子を調べるというのが本研究の中心課題である。ニュートラル条件ρ^xa_1(x,・)=0を仮定したとき、もし作用素【numerical formula】が正当に定義出来て、〓に対するマルチンゲール問題の解の一意性が成り立てば、{x_t,P^ε_}はε↓0のとき〓定めるマルコフ過程に分布収束するというのが、この漸近理論の大筋である。
  一般のレビィ型作用素L^y_0,L^x_2の場合にこの漸近定理を証明したのは本研究が最初であり、定理が成り立つための条件も本研究の中では弱められ具体的になっている。この成果は研究代表者によって学会発表されているが、この研究は一様化問題との関連も含めて今後更に続けられる予定である。また研究分担者達によって、上記の内容に直接的あるいは間接的に関係する形で、多くの成果が得られた。これらの成果は既発表のものもあるが、多くは発表予定になっている。, kaken

  対象リソースIRI
• フラクタル図形の次元スペクトル, 0, 0, 0, 競争的資金
• 魚類の左右性多型の数理モデル, 0, 0, 0, 競争的資金
• Dimension spectra of fractals, 0, 0, 0, 競争的資金
• Mathematical model of lateral asymmetry plymorphisms in fish, 0, 0, 0, 競争的資金