研究者総覧

山下 靖YAMASHITA Yasushiヤマシタ ヤスシ

所属部署名研究院自然科学系数学領域
職名教授
Last Updated :2022/10/06

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プロフィール情報

  • 山下, ヤマシタ
  • 靖, ヤスシ

学位

  • 博士(理学), 東京工業大学, 1996年03月

研究キーワード

  • growth function
  • 実験数学
  • 可視化
  • 幾何構造
  • 錐多様体
  • 結び目
  • 双曲群
  • 低次元トポロジー
  • 射影構造
  • タイヒミュラー空間
  • オートマティック群
  • 配置空間
  • 双曲デーン手術
  • クライン群
  • 三次元多様体
  • 双曲幾何
  • 幾何学的群論

研究分野

  • 自然科学一般, 幾何学

経歴

  • 2022年04月, 9999年, 奈良女子大学, STEAM・融合教育開発機構, 機構長, 日本国
  • 2012年04月, 9999年, 奈良女子大学, 研究院 自然科学系, 教授
  • 2010年01月, 2012年03月, 奈良女子大学, 理学部, 教授, 日本国
  • 2007年04月, 2009年12月, 奈良女子大学, 理学部, 准教授
  • 2005年08月, 2007年03月, 奈良女子大学, 理学部, 助教授
  • 1996年01月, 2005年07月, 奈良女子大学, 理学部, 講師
  • 1991年07月, 1996年12月, 奈良女子大学, 理学部, 助手

担当経験のある科目(授業)

  • 幾何学的群論, 奈良女子大学, 2019年99月99日
  • 双曲幾何学特論, 奈良女子大学, 2018年99月99日
  • ベーシックサイエンスⅡ, 奈良女子大学, 2016年99月99日
  • 社会に出るまでに知っておきたい科学, 奈良女子大学, 2016年99月99日
  • ベーシックサイエンスⅠ, 奈良女子大学, 2016年99月99日
  • グラフ理論, 奈良女子大学, 2015年99月99日
  • 双曲幾何学, 奈良女子大学, 2015年99月99日
  • プログラミング, 奈良女子大学, 2015年99月99日
  • グローバル理系女性育成国際サマーキャンプ, 奈良女子大学, 2016年20月19日

Ⅱ.研究活動実績

論文

  • 査読あり, 英語, Algebraic & Geometric Topology, The diagonal slice of Schottky space, Caroline Series; Ser Tan; Yasushi Yamashita, An irreducible representation of the free group on two generators X,Y into SL(2,C) is determined up to conjugation by the traces of X,Y and XY. We study the diagonal slice of representations for which X,Y and XY have equal trace. Using the three-fold symmetry and Keen-Series pleating rays we locate those groups which are free and discrete, in which case the resulting hyperbolic manifold is a genus-2 handlebody. We also compute the Bowditch set, consisting of those representations for which no primitive elements in the group generated by X,Y are parabolic or elliptic, and at most finitely many have trace with absolute value at most 2. In contrast to the quasifuchsian punctured torus groups originally studied by Bowditch, computer graphics show that this set is significantly different from the discreteness locus., 2017年08月03日, 17, 4, 2239, 2282, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Algebraic & Geometric Topology, Cosmetic surgery and the link volume of hyperbolic 3–manifolds, Yo’av Rieck; Yasushi Yamashita, We prove that for any V > 0 there exists a hyperbolic manifold M-V such that Vol(M-V) < 2.03 and LinkVol (M-V) > V. This was conjectured by the authors in [Algebr. Geom. Topol. 13 (2013) 927-958, Conjecture 1.3].The proof requires study of cosmetic surgery on links (equivalently, fillings of manifolds with boundary tori). There is no bound on the number of components of the link (or boundary components). For statements, see the second part of the introduction. Here are two examples of the results we obtain:(1) Let K be a component of a link L in S-3. Then "most" slopes on K cannot be completed to a cosmetic surgery on L, unless K becomes a component of a Hopf link.(2) Let X be a manifold and epsilon > 0. Then all but finitely many hyperbolic manifolds obtained by filling X admit a geodesic shorter than epsilon. (Note that it is not true that there are only finitely many fillings fulfilling this condition.), 2016年12月15日, 16, 6, 3445, 3521, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, International Journal of Algebra and Computation, Non-hyperbolic automatic groups and groups acting on CAT(0) cube complexes, Yoshiyuki Nakagawa; Makoto Tamura; Yasushi Yamashita, We discuss a problem posed by Gersten: Is every automatic group which does not contain ℤ × ℤ subgroup, hyperbolic? To study this question, we define the notion of "n-track of length n", which is a structure like ℤ × ℤ, and prove its existence in the non-hyperbolic automatic groups with mild conditions. As an application, we show that if a group acts freely, cellularly, properly discontinuously and cocompactly on a CAT(0) cube complex and its quotient is "weakly special", then the above question is answered affirmatively., 2014年09月, 24, 06, 795, 813, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Algebraic & Geometric Topology, The link volume of 3–manifolds, Yo’av Rieck; Yasushi Yamashita, We view closed orientable 3-manifolds as covers of S^3 branched over hyperbolic links. For a p-fold cover M \to S^3, branched over a hyperbolic link L, we assign the complexity p Vol(S^3 minus L) (where Vol is the hyperbolic volume). We define an invariant of 3-manifolds, called the link volume and denoted LV, that assigns to a 3-manifold M the infimum of the complexities of all possible covers M \to S^3, where the only constraint is that the branch set is a hyperbolic link. Thus the link volume measures how efficiently M can be represented as a cover of S^3. We study the basic properties of the link volume and related invariants, in particular observing that for any hyperbolic manifold M, Vol(M) < LV(M). We prove a structure theorem that is similar to (and relies on) the celebrated theorem of Jorgensen and Thurston. This leads us to conjecture that, generically, the link volume of a hyperbolic 3-manifold is much bigger than its volume. Finally we prove that the link volumes of the manifolds obtained by Dehn filling a manifold with boundary tori are linearly bounded above in terms of the length of the continued fraction expansion of the filling curves., 2013年04月05日, 13, 2, 927, 958, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Conformal Geometry and Dynamics of the American Mathematical Society, Linear slices of the quasi-Fuchsian space of punctured tori, Yohei Komori; Yasushi Yamashita, After fixing a marking (V, W) of a quasifuchsian punctured torus group G, the complex length l_V and the complex twist tau_V,W parameters define a holomorphic embedding of the quasifuchsian space QF of punctured tori into C^2. It is called the complex Fenchel-Nielsen coordinates of QF. For a complex number c, let Q_gamma,c be the affine subspace of C^2 defined by the linear equation l_V=c. Then we can consider the linear slice L of QF by QF \cap Q_gamma,c which is a holomorphic slice of QF. For any positive real value c, L always contains the so called Bers-Maskit slice BM_gamma,c. In this paper we show that if c is sufficiently small, then L coincides with BM_gamma,c whereas L has other components besides BM_gamma,c when c is sufficiently large. We also observe the scaling property of L., 2012年04月04日, 16, 5, 89, 102, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Geometry, Topology and Dynamics of Character Varieties, CREATING SOFTWARE FOR VISUALIZING KLEINIAN GROUPS, Yasushi Yamashita, 2012年08月, 159, 190, 論文集(書籍)内論文
  • 査読あり, 英語, European Journal of Combinatorics, Finite planar emulators for K_4,5-4K_2 and K_1,2,2,2 and Fellows' conjecture, Yo’av Rieck; Yasushi Yamashita, In 1988 Fellows conjectured that if a finite, connected graph admits a finite planar emulator, then it admits a finite planar cover. We construct a finite planar emulator for K_{4,5} - 4K_2. Archdeacon showed that K_{4,5} - 4K_2 does not admit a finite planar cover; thus K_{4,5} - 4K_2 provides a counterexample to Fellows' Conjecture. It is known that Negami's Planar Cover Conjecture is true if and only if K_{1,2,2,2} admits no finite planar cover. We construct a finite planar emulator for K_{1,2,2,2}. The existence of a finite planar cover for K_{1,2,2,2} is still open., 2010年04月, 31, 3, 903, 907, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Lecture Notes in Mathematics, Punctured Torus Groups and 2-Bridge Knot Groups (I), 2007年
  • 査読あり, 英語, Lond. Math. Soc. Lec. Notes, Computer experiments on the discreteness locus in projective structures, Yasushi Yamashita, 2006年, 329, 375, 390, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Experimental Mathematics, Drawing Bers Embeddings of the Teichmüller Space of Once-Punctured Tori, Yohei Komori; Toshiyuki Sugawa; Masaaki Wada; Yasushi Yamashita, We present a computer-oriented method of producing pictures of Bers embeddings of the Teichmuller space of once-punctured tori. The coordinate plane is chosen in such a way that the accessory parameter is hidden in the relative position of the origin. Our algorithm consists of two steps. For each point in the coordinate plane, we first compute the corresponding monodromy representation by numerical integration along certain loops. Then we decide whether the representation is discrete by applying Jorgensen's theory on the quasi-Fuchsian space of once-punctured tori., 2006年, 15, 1, 51, 60, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Lond. Math. Soc. Lec. Notes, Jorgensen's picture of punctured torus groups and its refinement, H. Akiyoshi; M. Sakuma; M. Wada; Y. Yamashita, 2003年, 299, 247, 273, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, GEOMETRIAE DEDICATA, Configuration spaces of points on the circle and hyperbolic Dehn fillings, II, Yasushi Yamashita; Haruko Nishi; Sadayoshi Kojima, In our previous paper, we discussed the hyperbolization of the configuration space of n(> 4) marked points with weights in the projective line up to projective transformations. A variation of the weights induces a deformation. It was shown that this correspondence of the set of the weights to the Teichm\"uller space when n = 5 and to the Dehn filling space when n= 6 is locally one-to-one near the equal weight. In this paper, we establish its global injectivity., 1999年07月24日, 89, 1, 143, 157
  • 査読あり, 英語, TOPOLOGY, Configuration spaces of points on the circle and hyperbolic Dehn fillings, Sadayoshi Kojima; Haruko Nishi; Yasushi Yamashita, A purely combinatorial compactification of the configuration space of n (>4) distinct points with equal weights in the real projective line was introduced by M. Yoshida. We geometrize it so that it will be a real hyperbolic cone-manifold of finite volume with dimension n-3. Then, we vary weights for points. The geometrization still makes sense and yields a deformation. The effectivity of deformations arisen in this manner will be locally described in the existing deformation theory of hyperbolic structures when n-3 = 2, 3., 1998年09月25日, 38, 3, 497, 516
  • 査読あり, 英語, PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, An inequality for polyhedra and ideal triangulations of cusped hyperbolic 3-manifolds, M Wada; Y Yamashita; H Yoshida, It is not known whether every noncompact hyperbolic 3-manifold of finite volume admits a decomposition into ideal tetrahedra. We give a partial solution to this problem: Let M be a hyperbolic 3-manifold obtained by identifying the faces of n convex ideal polyhedra P-1, ..., P-n. If the faces of P-1, ..., P-n-1 are glued to P-n, then M can be decomposed into ideal tetrahedra by subdividing the P-i's., 1996年12月, 124, 12, 3905, 3911, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 日本語, 日本応用数理学会論文誌, 日本応用数理学会, 結び目理論研究支援システムの設計, 落合 豊行; 山下 靖; 山田 修司, We made a new method and a data structure to draw knots and links rapidly. We also developed a computer software which realizes our ideas in order to assist reserchers in knot theory. As an example of using our software in knot theory, we explain computational results of polynomial invariants which can recognize mutant knots of 3-4 braids, Kinoshita-Terasaka knot and Conway knot., 1994年12月15日, 4, 4, 337, 348, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, SHAPES OF STARS, S KOJIMA; Y YAMASHITA, In this paper we construct a natural geometric structure for the space of shapes of a star-shaped polygon. Roughly speaking we find: The set of similarity classes of marked stars forms a hyperbolic right angle pentagon bundle over the space of external angle sets of inscribed pentagons. The assignment of the shape of its fiber to each angle set forms a hyperbolic plane bundle over the Teichmuller space of hyperbolic right angle pentagons. Any automorphism induced by renumbering is compatible with these geometric structures., 1993年03月, 117, 3, 845, 851, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Experimental Mathematics, Random Kleinian Groups, II Two Parabolic Generators, Gaven Martin; Graeme O’Brien; Yasushi Yamashita, In earlier work we introduced geometrically natural probability measures on the group of all M\"obius transformations in order to study "random" groups of M\"obius transformations, random surfaces, and in particular random two-generator groups, that is groups where the generators are selected randomly, with a view to estimating the likely-hood that such groups are discrete and then to make calculations of the expectation of their associated parameters, geometry and topology. In this paper we continue that study and identify the precise probability that a Fuchsian group generated by two parabolic M\"obius transformations is discrete, and give estimates for the case of Kleinian groups generated by a pair of random parabolic elements which we support with a computational investigation into of the Riley slice as identified by Bowditch's condition, and establish rigorous bounds., 2020年12月01日, 29, 4, 443, 451, 研究論文(学術雑誌)
  • 査読あり, 英語, Conformal Geometry and Dynamics of the American Mathematical Society, The realization problem for Jørgensen numbers, Yasushi Yamashita; Ryosuke Yamazaki, Let G be a two generator subgroup of PSL(2,C). The Jorgensen number J(G) of G is defined by J(G)=inf{ |tr^2 A-4|+|tr[A,B]-2| ; G=}. If G is a non-elementary Kleinian group, then J(G) >= 1. This inequality is called Jorgensen's inequality. In this paper, we show that, for any r >= 1, there exists a non-elementary Kleinian group whose Jorgensen number is equal to r. This answers a question posed by Oichi and Sato. We also present our computer generated picture which estimates Jorgensen numbers from above in the diagonal slice of Schottky space., 2019年02月25日, 23, 2, 17, 31, 研究論文(学術雑誌)

MISC

  • 査読無し, 日本語, 数学セミナー, 新入生のための数学書ガイド(分担), 山下靖, 2013年04月, 618, 8, 36, 記事・総説・解説・論説等(商業誌、新聞、ウェブメディア)
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, A computer experiment on primitive stable representations (Integrated Research on Complex Dynamics), 山下 靖, 2012年09月, 1807, 87, 93
  • 査読無し, 日本語, 数学セミナー, 日本評論社, 低次元トポロジーにおける分類, 山下靖, 2011年07月, 598, 7, 18, 22, 記事・総説・解説・論説等(商業誌、新聞、ウェブメディア)
  • 査読無し, 日本語, 数理科学, サイエンス社, 対称性と結晶 (特集 現代数学はいかに使われているか(幾何編)), 山下 靖, 2009年04月, 47, 4, 19, 24
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, OHT : A software for the dynamics of the modular group action on the character variety (Complex Dynamics and Related Topics), 山下 靖, 2008年04月, 1586, 18, 25
  • 査読無し, その他, On Negami's planar cover conjecture, Yo'av Rieck; Yasushi Yamashita, Given a finite cover f:tilde{G} \to G and an embedding of tilde{G} in the plane, Negami conjectures that G embeds in P^2. Negami proved this conjecture for regular covers. In this paper we define two properties (Propserties V and E), depending on the cover tilde{G} and its embedding into S^2, and generalize Negami's result by showing: (1) If Properties V and E are fulfilled then G embeds in P^2. (2) Regular covers always fulfill Properties V and E. We give an example of an irregular cover fulfilling Properties V and E. Covers not fulfilling Properties V and E are discussed as well., 2006年12月13日, 機関テクニカルレポート,技術報告書,プレプリント等
  • 査読無し, 日本語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, Searching for $\mathbb{Z+A}$ subgroups in non-hyperbolic automatic groups (Perspectives of Hyperbolic Spaces II), 中川 義行; 田村 誠; 山下 靖, 2004年07月, 1387, 110, 117
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, DRAWING BERS EMBEDDINGS OF THE TEICHMULLER SPACE OF ONCE PUNCTURED TORI (Hyperbolic Spaces and Related Topics II), 小森 洋平; 須川 敏幸; 和田 昌昭; 山下 靖, 2000年07月, 1163, 9, 17
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, FORD DOMAINS OF PUNCTURED TORUS GROUPS AND TWO-BRIDGE KNOT GROUPS (Hyperbolic Spaces and Related Topics II), 秋吉 宏尚; 作間 誠; 和田 昌昭; 山下 靖, 2000年07月, 1163, 67, 77
  • 査読無し, 英語, Topology, Elsevier Ltd, Configuration spaces of points on the circle and hyperbolic dehn fillings, Sadayoshi Kojima; Haruko Nishi; Yasushi Yamashita, A purely combinatorial compactification of the configuration space of n( ≥ 5) distinct points with equal weights in the real projective line was introduced by M. Yoshida. We geometrize it so that it will be a real hyperbolic cone-manifold of finite volume with dimension n - 3. Then, we vary weights for points. The geometrization still makes sense and yields a deformation. The effectivity of deformations arisen in this manner will be locally described in the existing deformation theory of hyperbolic structures when n - 3 = 2, 3. © 1999 Elsevier Science Ltd. All rights reserved., 1999年, 38, 3, 497, 516, 機関テクニカルレポート,技術報告書,プレプリント等
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, Punctured torus groups and two-parabolic groups (Analysis and Geometry of Hyperbolic Spaces), 秋吉 宏尚; 作間 誠; 和田 昌昭; 山下 靖, 1998年10月, 1065, 61, 73
  • 査読無し, 日本語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, ケーリーグラフの組み合せ的性質について, 山下 靖, 1997年12月, 1022, 179, 184
  • 査読無し, 日本語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, THE UNIFORMATION THEOREM FOR CIRCLE PACKINGS, 山下 靖, 1995年01月, 893, 36, 42
  • 査読無し, 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, Ideal triangulations of noncompact hyperbolic 3-manifolds(Complex Analysis on Hyperbolic 3-Manifolds), 山下 靖, 1994年08月, 882, 132, 138
  • その他, The growth of torus link groups, Yoshiyuki Nakagawa; Makoto Tamura; Yasushi Yamashita, Let $G$ be a finitely generated group with a finite generating set $S$. For $g\in G$, let $l_S(g)$ be the length of the shortest word over $S$ representing $g$. The growth series of $G$ with respect to $S$ is the series $A(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n$, where $a_n$ is the number of elements of $G$ with $l_S(g)=n$. If $A(t)$ can be expressed as a rational function of $t$, then $G$ is said to have a rational growth function. We calculate explicitly the rational growth functions of $(p,q)$-torus link groups for any $p, q > 1.$ As an application, we show that their growth rates are Perron numbers., 2014年01月15日
  • その他, The Link Volume of Hyperbolic 3-Manifolds, Yo'av Rieck; Yasushi Yamashita, We prove that for any V>0, there exist a hyperbolic manifold M_V, so that Vol(M_V) < 2.03 and LinVol(M_V) > V. The proof requires study of cosmetic surgery on links (equivalently, fillings of manifolds with boundary tori). There is no bound on the number of components of the link (or boundary components). For statements, see the second part of the introduction. Here are two examples of the results we obtain: 1) Let K be a component of a link L in S^3. Then "most" slopes on K cannot be completed to a cosmetic surgery on L, unless K becomes a component of a Hopf link. 2) Let X be a manifold and \epsilon>0. Then all but finitely many hyperbolic manifolds obtained by filling X admit a geodesic shorter than \epsilon\ (note that this finite set may correspond to an infinitely many fillings)., 2012年11月08日
  • 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, Non-hyperbolic automatic groups and groups acting on CAT(0) cube complexes (Complex Analysis and Topology of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces), 山下 靖, 2015年04月, 1936, 11, 14
  • 英語, 数理解析研究所講究録, 京都大学, A VERY BRIEF INTRODUCTION TO VIRTUAL HAKEN CONJECTURE (Representation spaces, twisted topological invariants and geometric structures of 3-manifolds : RIMS合宿型セミナー報告集), 山下 靖, 2013年05月, 1836, 192, 199

書籍等出版物

  • Punctured torus groups and 2-bridge knot groups (I), Springer, 秋吉宏尚; 作間誠; 和田昌昭; 山下靖, 2007年, 英語, 査読無し, その他, 9783540718062, cinii_books
  • 3次元幾何学とトポロジー, 培風館, William P. Thurston; Silvio Levy; 小島定吉, 1999年, 日本語, 査読無し, その他, 4563002720, cinii_books

講演・口頭発表等

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 基盤研究(C), 2011年, 2013年, 23540088, 研究代表者, 曲面群の指標多様体上の写像類群による作用の幾何学, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2080000, 1600000, 480000, 穴あきトーラスのSL(2,C)指標多様体において、BowditchによるQ条件、指標に対応する表現の離散性、写像類群の力学系の複雑さ、の3者の関連を中心研究を行った。特にリニアスライスと呼ばれる指標多様体の部分集合内において、離散領域の大域的な形状に関する小森洋平氏との共同研究を発表した。また、原始安定性というMinskyによって近年定義された力学系の複雑さをはかる概念について、計算機実験を行い、Q条件との比較を行った。, 競争的資金, url
  • 基盤研究(C), 2008年, 2010年, 20540076, 研究代表者, 曲面の基本群の表現空間への写像類群の作用と複素力学系, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 1950000, 1500000, 450000, 2元生成自由群の指標多様体のエンド不変量に関する予想について、S.P.タン氏および作間誠氏と予想の反例を構成した。また、これの対角部分集合おけるプリーツ曲線の類似物の存在をC.シリーズ氏と上記S.P.タン氏とともに見出した。直角アチン群の自己同型群および内部自己同型群の語の問題の計算の複雑さについて、Y.リエック氏と、計算の複雑さが多項式で評価可能であることを示した。, 競争的資金, url
  • 基盤研究(C), 2006年, 2007年, 18540085, 研究代表者, 球面上の重みつき点配置空間の複素双曲構造と曲面の写像類群の擬凸曲面部分群, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 1150000, 1000000, 150000, (1)非双曲オートマティック群の構造に関する研究(研究協力者:中川義之氏・田村誠氏) 幾何学的な手法により無限離散群の構造を研究する幾何学的群論において、双曲群は基本的な対象である。無限離散群の代表的な例である閉3次元多様体の基本群においては、その群が双曲的でない場合に階数2の自由アーベル群をその部分群として含むことが明らかになりつつあるが、より一般の群において類似の現象が成立するかどうかを調べるのは興味深い問題である。双曲群にならない群の代表例としては、研究題目にある曲面の写像類群を上げることができる。本年度の研究において、双曲的でない群がさらに特別なオートマティック構造を持つ場合に、上で期待された性質を持つかどうかの考察を行った。 (2)穴あきトーラスの特性多様体上への写像類群の作用に関する研究(研究協力者:Tan Ser Peow氏) 穴あきトーラスの上の幾何構造全体を記述する空間である擬フックス空間は、従来「型を保つ」と呼ばれる一番きいな場合について様々な研究がなされてきていたが、この条件をはずした場合の研究はこれまで十分なされてこなかった。ただし後者においては写像類群の作用に関して今までに知られていない新たな現象が期待されている。本研究代表者は研究協力者とともに、計算機実験を用いた実験的手法によりこの未知の世界にアプローチし、これまで予想されていたことに関して実験により反例を与えるなどの成果を得ることができた。また、コンピュータグラフィックスにより擬フックス空間の視覚化にも取り組んだ。, 競争的資金, url
  • 若手研究(B), 2004年, 2005年, 16740035, 研究代表者, 球面上の重みつき点配置空間の上の複素双曲構造の変形理論の構築, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 若手研究(B), 奈良女子大学, 800000, 800000, 0, (1)オートマティック群に関するGerstenの問題の研究 (研究協力者:田村誠氏、中川義行氏) 閉3次元多様体の基本群に対する弱双曲化予想(Perelmanの仕事を認めれば定理)とは基本群は(1)有限群(2)Z+Z(階数2の自由アーベル群)を部分群として含む(3)語双曲群のいずれかになる、というものである。(技術的には有限群は語双曲群だが、ここでは分けて考えた。)この「閉3次元多様体の基本群」を「オートマティック群」に置き換えて同じ現象が起こるかどうかを問うのがGerstenの問題である。この研究では、この問題について考察を行った。群がZ+Zを部分群として含む場合は、Z+Zの格子が群の中にあることになる。本研究では、「n-track」というZ+Zの格子に似ている構造を導入し、オートマティック群が語双曲的でない場合はほとんどいつも、n-trackが群の中に見つかることを示した。さらにオートマティック構造が比較的単純な場合として「prime-starred」というオートマティック構造のクラスを導入し、この場合は、上記Gerstenの問題が(技術的な条件付で)肯定的に解けることを示した。 (2)4色問題と球面の分岐被覆に関する研究 (研究協力者:Yo'av Rieck氏) 平面グラフに関する4色問題は1970年代に計算機を用いた方法で証明されているが、実際に与えられた平面グラフを4彩色するための効果的なアルゴリズムはよく知られていない。本研究では、球面の分岐被覆から定まるデータと遺伝的アルゴリズムを組み合わせた方法を考察し、その効果について検討を行った。, 競争的資金, url
  • 若手研究(B), 2002年, 2003年, 14740044, 研究代表者, 点配置空間の上に定義される複素双曲構造の空間の記述, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 若手研究(B), 奈良女子大学, 800000, 800000, 0, 本研究代表者は、東京工業大学の小島定吉氏、九州大学の西晴子氏らとの共同研究で、円周上の点の配置空間に自然に定まる双曲構造を定義した。ただし双曲構造を与えるためには元の配置空間に適当な構造(重み)を与えておく必要がある。そしてこの重みを動かすことにより、配置空間の双曲構造も変形され、この変形の様子を記述する研究も行った。より詳しく述べると、点の数が5個および6個の場合は得られる配置空間の次元が2次元および3次元になるため、上記の変形と双曲多様体の変形空間であるタイヒミュラー空間や、クライン群の変形の空間との局所的および大域的な関係について調べてきた。 後者のクライン群の変形については、多様体内の結び目による錘特異点を許す場合の変形がサーストンの双曲デーン手術理論によって与えられていた。それとは別に考えている多様体の無限大の場合の変形で、中でも特殊なクライン群の場合、すなわち1点穴あきトーラスの擬正則変形空間が、ヨルゲンセンが具体的な記述を与えている。これら研究に刺激されて、双曲幾何学において研究が活発に進められてきた。本研究代表者は、大阪大学の作間誠氏、奈良女子大学の和田昌昭氏らとこの理論の精密化の研究を行った。 具体的には、ヨルゲンセンによる1点穴あきトーラスの基本領域の記述の精密化と、これに基づき、ベンディングラミネーションと呼ばれる方法による多様体の記述に関するある予想を提出し、部分的な回答と、計算機実験による検証を行った。, 競争的資金, url
  • 奨励研究(A), 2000年, 2001年, 12740040, 研究代表者, 球面上の点配置空間から生じる複素双曲多様体の変形理論, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 奨励研究(A), 奈良女子大学, 800000, 800000, 0, 円周上の点の配置空間に自然に定まる双曲構造について研究を行った.元の配置空間に適当な構造を付加することによって、その付加した構造を動かすことにより配置空間の双曲構造も変形しすることが以前の研究で分かっていた.特に現れる多様体(配置空間)の次元が2または3のときは、付加される構造の空間からTeichmuller空間および、character varietyへの写像が自然に定義されるが、この写像が大域的に単射であることを、本研究課題の研究代表者による研究および東京工業大学・小島定吉氏・九州大学・西晴子氏との共同研究で議論した。しかし上記の議論には、途中の部分に若干の誤りがあることが分かり、これらの修正を行った。これにより、あらためて、写像が大域的に単射であることを、研究協力者と共に示した。この研究成果は現在出版予定となっている。 また、大阪大学の作間誠氏、秋吉宏尚氏、奈良女子大学の和田昌昭氏らと、1点穴あきトーラス群から定まる多様体の双曲構造に関して、特にその標準的な多面体分割に関する議論をおこない、多面体分割を得るための方法として知られていた代表的な2種類の方法の比較を行うとともに、関連した話題について計算機による実験も行った。, 競争的資金, url
  • 奨励研究(A), 1998年, 1999年, 10740030, 研究代表者, 点配置空間の解析による双曲多様体の変形理論, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 奨励研究(A), 奈良女子大学, 1000000, 1000000, 0, 円周上の点の配置空間に自然に定まる双曲構造について研究を行った.元の配置空間に適当な構造を付加することによって、その付加した構造を動かすことにより配置空間の双曲構造も変形しすることが以前の研究で分かっていた.特に現れる多様体(配置空間)の次元が2または3のときは、付加される構造の空間からTeichmuller空間および、character varietyへの写像が自然に定義されるが、この写像が大域的に単射であることを、本研究課題の研究代表者による研究および東京工業大学・小島定吉氏・九州大学・西晴子氏との共同研究より示した.より具体的には、写像の定義域にあたる空間の座標系を適当に定めることと、写像の値域にあたる空間からもとの定義域の空間への逆写像を、上記座標系を利用して幾何学的に構成することにより議論をすすめた. 設備備品費は当初予定していた幾何学関係図書・位相幾何学関係図書等の購入を中心に行った.消耗品は計算データ結果の保存用に、計算機記憶媒体の購入が主であった.国内旅費は、共同研究者との研究連絡を学会等で行うための利用と共に、第45回トポロジーシンポジウムや研究集会「リーマン面・不連続群」での発表など、研究発表にも使用した.なお、上記共同研究成果は現在投稿中である., 競争的資金, url
  • 基盤研究(C), 2020年04月01日, 2023年03月31日, 20K03612, 指標多様体上の幾何と写像類群作用を用いた算術的クライン群の分類, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 1950000, 1500000, 450000, 曲面Σの基本群πからリー群Gへの表現全体の空間Hom(π,G)には群Gが共役により作用する。この作用による幾何学的不変式論の意味での商空間Xを指標多様体という。この指標多様体を、表現の像が離散群になる部分とそうでない部分に分割すると、前者はΣのG構造の変形の空間とみなすことができる。特にGがSL(2,C)の場合は双曲幾何構造の変形空間であり、重要な研究対象である。特に離散部分群はクライン群とよばれ、重要な研究対象である。また、指標多様体には曲面Σの写像類群が自然に作用し、この作用の複雑さによっても指標多様体は2つに分割される。これら2つの関係は未解明な部分が多い。 今年度は、SL(2,C)の部分群で楕円型の元2つによって生成されるクライン群で、算術的とよばれる条件をみたすものの分類のための研究を行った。楕円型の元はその位数で特徴づけることができるが、特に位数が6以下の場合において、どのような算術的クライン群が存在しうるかについて、計算機を用いた実験を行った。クライン群は指標多様体のパラメータを用いて記述され、それが算術的になるためにはそのパラメータが代数的整数であって四元数代数等に関する一定の条件をみたす必要があることが知られている。さらに、指標多様体上の写像類群作用に関して、BowditchのQ条件というものをみたさなければならないことが予想されている。そのため、これらに関する計算機実験を進めることで、算術的クライン群の完全分類に向けた候補を与えるための研究を進展させた。, rm:presentations
  • 基盤研究(B), 2017年04月01日, 2022年03月31日, 17H02843, 離散群の幾何とその3次元トポロジーへの応用, 大鹿 健一; 作間 誠; 宮地 秀樹; 山下 靖; 森藤 孝之, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 17290000, 13300000, 3990000, 繰り越しをした年度も含めた期間で以下のような研究を遂行した. 大鹿はPapadopoulosと写像類群の作用の剛性についての研究を進め,曲面上のgeodesic laminations全体が作る空間に非対称Hausdorff距離を入れたものについての剛性を示した.さらにPapdopoulos,Yi HuangとともにThurstonの非対称計量の下での,Teichmuller空間のRoydenの剛性と類似の無限小剛性を証明した.また大鹿,作間は秋吉らと共同で2元生成Klein群のうち自由群とならないものを分類するというAgolのプログラムを完成させた.宮地は擬等角写像の無限小空間を擬等角写像の空間における力学系による極限集合と理解してその基本的性質を得た.さらに,宮地はNewYork市立大学のDragomir Saric氏と共同研究によりTeichmuller円板の境界挙動を調べた.森藤は双曲絡み目のねじれアレキサンダー多項式が持つ性質と比較するために,3次元球面内のトーラス絡み目のねじれアレキサンダー多項式を詳しく考察して明示公式を与えるとともに,それがSL(2,C)-指標代数多様体上で局所定数になることを示した.山下はSL(2,C)の部分群で、2つの楕円的な元で生成されるものについて,算術的クライン群になるものの分類(数え上げ)のための研究を行った.さらにある種の条件をみたす整数係数モニック多項式の数え上げを行うための計算機を用いた研究を進めた. これらの研究をロシア,韓国などで開催された国際研究集会で発表するとともに,金沢大学で国際研究集会を主催することにより,今後の研究の発展につなげる努力をした.
  • 基盤研究(A), 2016年04月01日, 2021年03月31日, 16H02145, 結び目と3次元多様体の量子トポロジー, 大槻 知忠; 金信 泰造; 伊藤 哲也; 谷山 公規; 藤原 耕二; 逆井 卓也; 大山 淑之; 山下 靖; 茂手木 公彦; 森藤 孝之; 玉木 大; 志摩 亜希子, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(A), 京都大学, 33150000, 25500000, 7650000, 結び目のKashaev不変量と双曲体積を関連づける体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何を結びつける懸案の予想であり、最近15年間世界的にこの分野の中心的な話題となってきた。本研究の目標は、体積予想を多くの結び目について解決し、Kashaev不変量の漸近展開として得られるべき級数を新しい結び目不変量として研究することである。これにより、量子トポロジーと双曲幾何を融合する新しい研究テーマが創出されることが期待される。また、3次元多様体の量子不変量の漸近展開に双曲体積が現れることを主張する「3次元多様体の体積予想」も近年定式化され、これについての研究もすすめた。とくに、漸近展開の準古典極限の項にはReidemeister torionが現れることが観察され、いくつかの例に対してそれを証明した。 また、国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」と、研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」「結び目の数理」「トポロジーシンポジウム」「トポロジー新人セミナー」「Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds」「トポロジーとコンピュータ」「東北結び目セミナー」を開催した。これらの国際会議と研究集会では、国内外の研究者による活発な研究交流が行われ、十分な成果を挙げた。
  • 基盤研究(C), 2017年04月01日, 2020年03月31日, 17K05250, 曲面群の指標多様体の写像類群作用による力学系的分解の幾何学, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 1950000, 1500000, 450000, 2次元および3次元の多様体の幾何構造として、双曲幾何構造は重要である。この構造を理解するため、2次元多様体の基本群の指標多様体の研究を行った。特に、2つのSL(2, C)の要素によって生成されるクライン群のヨルゲンセン数の実現問題の研究を行った。また、SL(2, C)の要素をランダムに2つ発生させたときに、それがいつクライン群を与えるかという問題について、計算機実験を用いた研究を行った。, url;rm:presentations;rm:presentations
  • 基盤研究(C), 2016年04月01日, 2019年03月31日, 16K05153, 錐双曲多様体の標準的基本領域とホロノミー表現, 秋吉 宏尚; 作間 誠; 山下 靖; 金信 泰造, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 大阪市立大学, 4030000, 3100000, 930000, 本研究課題は穴あきトーラス群に対するJorgensen理論の錐多様体への拡張とそのための基礎理論の整備を目的とする.基礎理論においては,錐双曲構造に関するFord領域,コンパクト閉凸核の概念などを導入し,Ford・Dirichlet領域の持つ安定性を示した.具体的な錐多様体の変形に関しては,Fuchs表現と薄い表現について詳細な観察を行うとともに,2橋結び目錐多様体の双曲構造へとつながる道の存在を強く示唆する現象を数値的に観察することに成功した., url
  • 基盤研究(C), 2014年04月01日, 2017年03月31日, 26400088, 曲面群の指標多様体の幾何的分解と力学系的分解, 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2340000, 1800000, 540000, 2次元および3次元の多様体の幾何構造として、双曲幾何構造は重要である。この構造を理解するため、2次元多様体の基本群の指標多様体の研究を行った。特に閉3次元多様体に対して双曲幾何を用いた新しい意味での体積の定義を与えるとともに、この不変量の基本的な構造について研究を行った。さらに、多様体の基本群に代表される無限離散群がGromovの意味で双曲的になるための条件を、CAT(0)立方複体を用いて与えた。, url
  • 基盤研究(B), 2010年04月01日, 2015年03月31日, 22340013, 3次元多様体の幾何構造と組合せ構造, 作間 誠; 島田 伊知朗; 土井 英雄; 安井 弘一; 平之内 俊郎; 鎌田 聖一; 河野 正晴; 新國 亮; 秋吉 宏尚; 平澤 美可三; 大鹿 健一; 和田 昌昭; 宮地 秀樹; 金 英子; 小林 毅; 山下 靖; 森元 勘治; 中西 敏浩; 小森 洋平; 須川 敏幸; シャクレトン ケネス; 土井 英雄; 平之内 俊郎, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 広島大学, 16250000, 12500000, 3750000, (1)Donghi Lee氏との共同研究:McShaneの等式の類似を2橋結び目に対して証明した。更に,2橋絡み目に付随するHeckoid軌道体が双曲軌道体であることを証明し,2橋絡み目群から偶型Heckoid群の上方メリディアン対保存全射準同型を全て決定した. (2)大鹿健一氏との共同研究:3次元多様体Mのヘガード曲面Sが十分大きなHempel距離を持つなら,Sに対して自然に定まる写像類群Gが自然な自由積群分解を持つことを証明した, url
  • 挑戦的萌芽研究, 2009年, 2011年, 21654011, 離散群の非離散表現, 作間 誠; 鎌田 聖一; 寺垣内 政一; 大鹿 健一; 須川 敏幸; 山下 靖; 秋吉 宏尚; 角 大輝, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究, 広島大学, 2740000, 2500000, 240000, 2橋絡み目の2橋球面上の単純閉曲線が絡み目補空間内でヌルホモトピックとなるための条件,周辺的となる条件を完全に決定した.また, 2橋球面上の2つの単純閉曲線が絡み目補空間内ホモトピックになる条件を完全に決定した.応用として, 2橋絡み目に対するMcShaneの等式の類似を与え,そのカスプのモジュラスが閉測地線の複素長さを用いて記述できることを証明した, url
  • 基盤研究(B), 2006年, 2009年, 18340018, 3次元多様体のヘガード構造と幾何構造, 作間 誠; 鎌田 聖一; 永井 敏隆; 松本 堯生; 梅原 雅顕; 大鹿 健一; 今野 一宏; 満渕 俊樹; 和田 昌昭; 宮地 秀樹; 小林 毅; 山下 靖; 森元 勘治; 中西 敏浩; 小森 洋平; 秋吉 宏尚; 秋吉 宏尚; 和田 昌昭; 山下 靖; 大鹿 健一; 梅原 雅顕, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 9900000, 8100000, 1800000, 最も簡単な双曲曲面である穴あきトーラスを深く調べることにより,一般の曲面に関する理解が深まるという信念に従って研究を行い,次の研究成果を得た.(1)穴あきトーラス擬フックス群に関するJorgensen理論の完全な記述と証明を与え,Lecture Noteとして出版した.(2)擬アノソフモノドロミーを持つ円周上の穴あきトーラス束に付随して自然に得られる「Cannon-Thurston-Dicksフラクタルタイル張り」と「標準的分割が定めるカスプの三角形分割」,の間に密接な関係があることを証明した.また,それをヒントに一般の円周上の穴あき曲面束の標準的分割に関する予想を提案した.(3)2橋結び目の橋球面上の本質的単純閉曲線が結び目補空間で可縮となるための必要十分条件を与えた., url;url
  • 基盤研究(C), 2007年, 2008年, 19540083, 幾何学的手法を基軸とした三次元多様体の研究とその広がり, 小林 毅; 山下 靖; 片桐 民陽, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 1950000, 1500000, 450000, 片桐ははリーマン計量全体の中の臨界リーマン計量に関して研究を行った. 山下は2元生成メビウス変換群と3次元双曲幾何学との関連について研究を行った。小林は三次元多様体のHeegaard分解, 写像類群を利用した流体の混合に関する研究を行った. これらに関して例えば, 高いHempel距離を持つHeegaard分解を許容する三次元多様体を境界で貼りあわせて得られる三次元多様体の既約なHeegaard分解は必ずこれらのHeegaard分解の融合(amalgamation)になっていることが分かった, 等の結果が得られた., url
  • 萌芽研究, 2005年, 2007年, 17654016, 双曲構造と球面構造の双対性, 作間 誠; 秋吉 宏尚; 和田 昌昭; 山下 靖; 大鹿 健一; 難波 誠; 吉田 正章, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 萌芽研究, 2100000, 2100000, (1)Cannon-Thurston Mapの研究 Warren Dicksとのe-mail文通により,穴あきトーラス束から生じるCannon-Thurston Mapに付随する平面のフラクタル分割と,標準的分割が導くカスプ三角形分割との間に自然な関係があることを証明した.現在共著論文を執筆中である. (2)強可逆結び目の同変種数の研究 任意の周期的結び目は,周期写像で不変な最小種数ザイフェルト曲面を持つことがA.Edmondsにより証明されているが,強可逆結び目に対しては,対応する結果が成立しないことがわかる.しかし強可逆結び目に対して,対合で不変なザイフェルト曲面は存在するので,同変種数が定義出来る.この同変種数と通常の種数の差はいくらでも大きくなり得ることを証明した.この研究はToulouseで開催された国際研究集会で発表した. (3)垣水複体の研究 垣水複体の単連結性を証明したJ.Schultensの議論を拡張することにより,K.Shackletonとの共同研究により,垣水複体の2次元ホモトピー群が消えていることを証明した. (4)あるMontesinos結び目補空間のvirtual fiber性の証明 最近,Boyer-Zhangによりオイラー数が0であるMontesinos結び目補空間のvirtual fiber性が証明された.A'Campo-石川にdivide理論を応用することにより,オイラー数が0でないあるMontesinos結び目補空間のvirtual fiber性を証明した.
  • 基盤研究(C), 2005年, 2006年, 17540077, 三次元多様体の幾何構造とそれに関連した様々な構造, 小林 毅; 山下 靖; 片桐 民陽, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2200000, 2200000, 小林は結び目の外部空間のHeegaard分解に関する研究を行った.まず斎藤敏夫との共同研究で2つの結び目のトンネル系が与えられたとき、それらの結び目の連結和におけるこれらのトンネル系の和が安定化されたHeegaard分解を与えるための必要十分条件を与えた.またYoav Rieckとの共同で任意の自然数nに対してある結び目Kでそのコピーをn個連結和して得られる結び目nKに対してt(nK)=nt(K)+(n-1)が成り立つようなものが存在することを示した(但しここでt(L)は結び目Lのトンネル数を表す).この結果の帰結として結び目のトンネル数の超加法性に関する森元の予想の反例が構成できる. 有限生成群Gとその有限生成系Aを一つ固定する。数列{a_n}をa_n:=Gの要素gでAに関する語長がnとなるものの数、で定め、式形的巾級数g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...をgrowth functionという.growth functionは有理式による表示を持つことが多いが、具体的表示を求めることは一般には困難である. 山下は中川義行氏、田村誠氏との共同研究で、2橋絡み目群(より正確にはConway表記から定まるWirtinger表示)のgrowth functionの有理式表示がどのようなものかについて、計算機実験をもとに予想を提出した. 片桐は与えられた多様体上のRiemann計量全体から成る空間上の変分問題,及びその上のフローについての研究を行った.特に,近年のRicciフローを用いた三次元多様体の研究に刺激され,Laplace作用素の固有値を始めとする様々な幾何学的な量から定義される変分問題や,それら幾何学的な量がフローによりどのように変化するかを調べた.また上記研究の共形幾何学的な研究を行った.
  • 基盤研究(B), 2002年, 2005年, 14340023, 3次元多様体のヘガード構造と幾何構造, 作間 誠; 秋吉 宏尚; 和田 昌昭; 山下 靖; 大鹿 健一; 小林 毅; 森元 勘治; 小森 洋平, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 大阪大学, 10900000, 10900000, 本研究で得られた主な研究成果は下記の通りである. 1.穴あきトーラス擬フックス群に関するJorgensen理論の整備. Jorgensenが開発した穴あきトーラス擬フックス群のフォード領域に関する理論は様々な研究者により興味を持たれていたのにもかかわらず,その結果と証明をきちんと述べた文献はなかった.そのなかで,秋吉,作間,和田,山下は,Jorgensen理論を整備し,完全な証明をつけた論文(257pages)を完成した.引き続き,穴あきトーラス擬フックス空間の外部への拡張,その応用としての2橋結び目の橋構造と双曲構造との間の関係の記述をきちんと書き下し,上の論文の続編として発表する計画である. 2.Epstein-Penner構成の一般化と凸核との比較. Epstein-Pennerは有限体積のカスプ付き双曲多様体Mに対してミンコフスキー空間内における凸包構成を通してMの理想多面体分解を構成した.秋吉と作間は,この構成を無限体積のカスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,EPH-分解の概念を導入した.更にカスプ付き3次元双曲多様体のEPH-分解と折り曲げ線層の間には密接な関係があることを証明した.特に,穴あきトーラス群に関しては折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田,山下との共同研究によりいくつかの部分的解答コンピュータ実験を行った. 3.曲面束にたいするMcShaneの等式の類似の証明. Bowditchにより,双曲構造を持つ円周上の穴あきトーラス束のカスプトーラスのモジュラスを穴あきトーラス上の単純閉曲線の複素線長を用いて表示する公式が得られていた.秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は,この公式を一般の(双曲構造を持つ)円周上の穴あき曲面束に対するものへ拡張した.
  • 基盤研究(C), 2002年, 2005年, 14540079, クライン群論および双曲幾何学研究支援ソフトウェアの開発, 和田 昌昭; 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2900000, 2900000, 本研究の研究代表者が開発し,インターネットを通じて公開しているプログラムOPTiは,Troels Jorgensen (Columbia Univ.), Albert Marden (Univ.Minnesota), William Thurston (UC Davis)といった著名な研究者を含む多くのクライン群論および双曲幾何学の研究者に利用されている.この研究の目的は,OPTiをさらに洗練し,クライン群論および双曲幾何学研究支援ツールとしてより役立つものにすると同時に,ユーザインターフェイスを工夫・改良することによって,専門の研究者はもちろんのこと,学生にとっても使いやすいプログラムにし,教育目的にも有効に利用できるようにすることであった. 4年間の継続的なプログラムの改良と学会発表等における普及活動の結果,その目的は十分に達成されたと考える.OPTiのウェブサイト(http://vivaldi.ics.nara-wu.ac.jp/~wada/OPTi/)はGoogleのDirectoryにおけるTopology Softwareで上位にランキングされていることが示すように世界中からアクセスがある.現在ではOPTiは全世界においてトポロジー研究や数学教育支援のための重要なソフトウェアの一つとなっている.
  • 基盤研究(C), 2003年, 2004年, 15540073, 三次元多様体の様々な幾何構造の研究, 小林 毅; 山下 靖; 片桐 民陽; 市原 一裕, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2100000, 2100000, 1.三次元多様体内の結び目の連結和のトンネル数に関する森元の予想に関する研究. 三次元多様体内の結び目Kのトンネル数をt (K)とかくことにする.いまm-smallな結び目のK_1,…,K_nの連結和#^n_i=1K_iのトンネル数に関して超加法性が成り立っていないとする.このとき{1,…,n}のある部分集合Iで#_K_iがprimitive meridianを許容するようなものが存在する,ことを示した. 2.三次元多様体内の結び目のトンネル数の増加率に関する研究. 三次元多様体Mに含まれる結び目Kに対してそれ自身のコピーの連結和を繰り返し行ったときそのトンネル数と連結和されたコピーの個数の比率を,その結び目のトンネル数の「増加率」と名づけこれに関して以下のような結果を得た. いまKの外部空間のHeegaard種数はMのHeegaard種数よりも大きいとする.このときKのトンネル数の増加率は1よりも小さい. 3.オートマティック群に関するGerstenの問題の研究 「オートマティック群は(1)有限群(2)Z+Z(階数2の自由アーベル群)を部分群として含む(3)語双曲群のいずれかになるか」Gerstenの問題に取組み「n-starred」というオートマティック構造のクラスをにおいてはこの問題が肯定的に解けることを示した。 4.ザイフェルト多様体のHeegaard gradientについてLackenbyはvirtual Haken予想解決の為の技巧としてHeegaard gradientと呼ばれる概念を導入し三次元双曲多様体がvirtually Hakenであることが,そのHeegaard gradientが消滅することと密接に関連していることを示した.本研究ではこれに関連してザイフェルト多様体について,そのHeegaard gradientがいつ消滅するのかを完全に決定した.
  • 基盤研究(C), 2003年, 2003年, 15634003, トポロジーにおける実験数学, 小島 定吉; 山下 靖; 阿原 一志; 和田 昌昭; 高沢 光彦, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 東京工業大学, 1900000, 1900000, 本研究は,トポロジーにおける実験数学の研究形態のプロトタイプを提案することを主眼として,この1年間企画調査を行った. 当初の予定通り,夏にイギリスを訪問し,Experimental Mathematics誌の初代編集長であったD.Epstein教授,および実験数学を代表する書物Indra's Pearlsの著者のであるC.Series教授,D.Wright教授とトポロジーにおける実験数学の現状について意見交換し,米国および英国の情報を収集した.その結果,実験数学の裾野が拡がる過程では,実装するアルゴリズムに話を絞るのが数学上の問題と計算上の問題を同じ土俵で議論するのに有効であり,さらに協調的な実験数学の研究につながる例が多かったことを知った. そこで12月に予定していた研究集会「トポロジーとコンピュータ」は,このことを念頭においてプログラムを組み東工大で開催した.とくに,多項式解法プログラムの作成者と基本群の表現の研究者の共同研究の発表では,当初は違う問題を解く目的で設計されたアルゴリズムがこの場合に妥当であるかどうかを,実験成果だけからでなくより実証的に示せないかなどの,数学と計算の双方で新たな課題が出るという討論の展開があった. 確かにアルゴリズムは,論証を重んじる数学と技術を重視する計算を結びつけるスポットであり,それを主役に置くことにが実験数学の研究およびその発表形態のプロトタイプになり得ることが確認できた.今後はこの企画調査の成果を,サマースクール形式でのプログラミング技術講習会,およびアルゴリズム指向の新しい研究集会の企画につなげ,平成17年度に実行に移す予定である.
  • 基盤研究(B), 2000年, 2003年, 12440018, 3次元多様体のヘガード分解と幾何構造, 難波 誠; 作間 誠; 和田 昌昭; 作間 誠; 今野 一宏; 小森 洋平; 山下 靖; 小林 毅; 森元 勘治; 村上 順, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 大阪大学, 14700000, 14700000, (1)基本群と分岐被覆.難波誠は土橋宏康と共に,複素射影平面内の曲線の補空間,およびその曲線で分岐する有限ガロア被覆の基本群の実際的計算に,ひとつの方法をあたえ,それを用いて新しいZariski対の例をあたえた. (2)Epstein-Penner構成の一般化.秋吉宏尚と作間誠は,有限体積カスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,凸核との関係を調べた.穴あきトーラス群に関しては,折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田昌昭,山下靖との共同研究により,いくつかの部分的解答と,コンピュータ実験を行った. (3)秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は共同研究により,McShaneの等式の類似が穴あき曲面束に対して成立することを証明した.この公式は,カスプトーラスのモジュライをファイバー曲面上の本質的単純閉曲線の複素長を用いて表すものである. (4)穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口の描写.和田昌昭と山下靖は,穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口を描くコンピュータソフトを開発した.
  • 基盤研究(C), 2000年, 2002年, 12640071, 三次元多様体の表示とそこから導かれる幾何的情報について, 小林 毅; 片桐 民陽; 山下 靖; 落合 豊行, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 奈良女子大学, 2800000, 2800000, 1.三次元多様体のgraphic 小林はRubinstein-Scharlemannによって定義されたgraphicを用いることにより、2橋結び目の外部空間のHeegarrd splittingを全てのgenusで完全に分類することに成功した. 2.結び目の外部空間を用いたHeegaard分解のstrong irreducibilityの局所定判定法 小林はYo'av Rieckと共同でstrongly irreducible Heegaard分解と三次元球面内の非自明結び目の外部空間との交わりついて解析しそれは結び目の外部空間内のmerdional annulusの和集合になることを証明した. 3.森元予想に関する研究 小林は三次元多様体内の結び目の連結和とそのトンネル数に関する森元予想をm-smallな結び目に関して考察した. 4.Heegaard分解の接着写像のDehn twistへの分解アルゴリズム 落合は,与えられたHeegaard分解を実現する,閉曲面上の向きを保つ自己同相写像を,標準的なDeh twistの積に分解するためのアルゴリズムを種数2のHeegaard分解に対して与えた. 5.Riemann多様体の計量のmoduli アインシュタイン計量(3次元多様体上では定曲率計量)は全スカラー曲率汎関数の臨界点として特徴付けられる.片桐は,スカラー曲率よりも情報を多く含むリッチ曲率を用いたリーマン汎関数について考察した.アインシュタイン計量はこの汎関数の臨界点となるがそれ以外にも存在することを示した.また臨界点がアインシュタイン計量となる十分条件を与えた.
  • 基盤研究(B), 1997年, 1999年, 09440033, 3次元多様体のヘガード分解と双曲構造, 作間 誠; 村上 順; 榎 一郎; 満渕 俊樹; 山下 靖; 和田 昌昭; 中西 康剛; 金信 泰造; 河内 明夫; 川久保 勝夫; 伊吹山 知義, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 大阪大学, 11000000, 11000000, 3次元多様体のヘガード分解の研究は、3次元多様体論の最も重要なテーマの一つである。"non-hyperbolike"多様体のヘガード分解に関してはこれまでに十分深い知見が得られているが、双曲多様体のヘガード分解に関しては残念ながらまだほんの少しの知見しか得られていない。特に双曲構造とヘガード分解の関係に関しては、我々が知る限り、殆ど何もわかっていなかった。 この研究プロジェクトでは、2橋結び目補空間の完備双曲構造と、(一種ヘガード分解である)橋構造との間には密接な関係があることを発見した。実際、我々は2橋結び目の2橋構造を用いることにより、2橋結び目補空間の完備双曲構造を具体的に構成した。もっと正確に言うと、2橋結び目補空間上の錐多様体構造の連続族で、上トンネルと下トンネルに沿って特異点を持ち、錐角が0から2πまで変化するものを構成した。錐角0の時の錐多様体構造は、擬フッ楠一点穴開きトーラス空間の有理的境界群に対応し、錐角2πの時の錐多様体構造は2橋結び目補空間の完備双曲構造を与える。この証明のために、我々はJorgensenによりアナウンスされていた擬フックス一点穴開きトーラス群に関する理論(の一部)を整備し、更にそれを擬フックス一点穴開きトーラス空間の外部に適用できるように一般化した。このプロジェクトのために和田昌昭が開発したコンピュータソフト「OPTI」は、このプロジェクトにとって必要不可欠な道具であっただけでなく、今やタイヒミュラー空間論の研究にとっても重要な道具として様々な研究者により愛用されている。上述の研究成果は、3次元多様体の双曲構造とへガード分解の関係の研究の始まりであると信じている。
  • 基盤研究(B), 1997年, 1999年, 09440034, 多様体の幾何構造と大域解析, 小林 治; 藤岡 敦; 北原 晴夫; 児玉 秋雄; 加藤 信; 片桐 民陽; 石本 浩康; 山下 靖; 小林 毅; 落合 豊行, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 9200000, 9200000, 多様態の幾何構造は多くの種類があるが,我々が取り上げるのは主に共形幾何と関係の深いものである.以下に得られた結果の一部を述べる. 1.スカラー曲率方程式.これはリーマン計量の共形変換でスカラー曲率がどのように変換されるかを記述する方程式である.コンパクトでない多様体上でこの方程式の組織的な解析を行い,与えられたスカラー曲率をもつ完備な共形計量の空間について諸結果を得た. 2.ワイル構造.これは共形類が与えられているとき,この共形類を保ち捩率が0であるようなアファイン接続のことである.リッチ曲率がワイル構造の完全不変量であることが示された.またコンパクト共形平坦アインシュタイン-ワイル空間の分類を得た. 3.メビウス幾何.与えられた位相型をもつ球面上の正則閉曲線の最小頂点数を自己交点数が5以下の曲線に対して完全に求めた.また正則曲線に対するシュワルツ微分を新たに導入した.これによってネハリの単葉性定理およびその拡張に対して新たな証明を与えた.この議論の要点のひとつは曲線のおかれている多様体の共形構造からその曲線に積分可能な射影構造が導かれることにある.メビウス空間の曲線に対して,この曲線の射影構造から定まる射影展開写像の単射性から,この曲線のはめこみ写像の単射性が得られることを示した.
  • 基盤研究(B), 1996年, 1996年, 08454019, ヘッケ環の行列表現のW-グラフによる構成に関する研究, 落合 豊行; 山下 靖; 小林 毅; 和田 昌昭; 加古 富志雄, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(B), 奈良女子大学, 6100000, 6100000, 本研究では、ミュータントな結び目を区別するために我々の研究グループが発見した結び目の代数的平行化不変量を計算するコンピュータ・ソフトウェアを制作することが目的である。具体的な研究項目は以下のように述べられる。 (1)ブレイド指数14、15のヘッケ環の行列表現を計算するコンピュータの計算に存したアド・ホックな方法を改良し、Lascoux‐Schutzenbergerの方法で生成できないW-グラフのラムダ図式のレベルでの補完的な辺の間の関係を探索する支援ソフトウェアを制作する。(2)ブレイド指数15の場合の行列表現を利用して、ブレイド指数5の結び目の3-平行化不変量を構成する。(3)ブレイド指数16の場合の行列表現を新たに作成し、それを用いてブレイド指数4の4-平行化不変量を構成する。(4)上記の代数的不変量を計算する機能を持つ結び目理論研究支援ソフトウェアの制作。 項目(1)に関しては、ブレイド指数14,15のヘッケ環の行列表現を構成するためのプログラムを作成し、改良に努力し、ブレイド指数14,15の結び目のジョーンズ多項式を高速に計算するシステムを構築した。しかし、アド・ホックな方法を改良し、理論的に求める方法についてはまだ成功していない。 項目(2)に関しては、ブレイド指数5の結び目の3-平行化不変量を計算するプログラムは完成している。 項目(3)に関しては、ブレイド指数16のヘッケ環の行列表現の作成には成功しているが、しかしブレイド指数4の4-平行化不変量の作成は未完成である。 項目(4)に関しては、3,4,5の3-平行化不変量を計算する機能を持った統合的結び目理論研究支援ソフトウェアをWindows95、WindowsNT上で開発した。このソフトウェアは1998年4月後半に国内外の研究者に配布を開始する予定である(ネットワーク上のftpサイトは、ftp.ics.nara-wu.ac.jpであり、ディレクトリはochiai/KnotTheoryである)。 また、本研究と関連する研究成果は、別紙に掲載してある。更に、本研究から得られた研究成果は1998年中に論文として投稿し、出版する予定である。
  • 総合研究(A), 1995年, 1995年, 07304008, 幾何構造の可視化, 小島 定吉; 山下 靖; 坪井 俊, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 総合研究(A), 東京工業大学, 2900000, 2900000, 「幾何構造の可視化」の研究に関連して企画された以下の6つの研究集会を後援した:阿部孝順(信州大)主催の「コンピュータを援用するトポロジーの研究」,津久井康之(専修大)主催の「Graphと3次元多様体の研究」,北野晃朗(東工大)主催の「基本群の表現空間の幾何」,根上生也(横国大)主催の「位相幾何学的グラフ理論研究集会」,小山晃(大阪教育大)主催の「高次元位相多様体論」,合田洋(東京理大)主催の「結び目の位置と3次元多様体の構造」.いずれも少人数の集会で,幾何学におけるコンピュータの役割に関する突っ込んだ討論がなされた.とくに日本ではこの分野の研究支援の研究が遅れているという指摘が複数の集会であった.また,深谷賢治(京都大)代表の科研費総合A(研究課題:幾何学と種々の数学の関わり)と共同で研究集会「Surveys in Geometry無限群と幾何学」を開催した.ここでは,計算機科学が幾何学的群論へ理論的に貢献するという,従来とは趣のことなる数学と計算機科学の相互作用が一つのテーマとなり,将来の発展に期待が集まった. これらの活動と連携しながら,研究組織では幾何構造の可視化のため具体的な実験試行を繰り返し,計算機支援の環境整備を目指した.とくに,境界付き双曲多様体のDehn手術変形の境界への影響をディスプレイ上に可視化するアルゴリズムを作った.ただしコンピュータ上実装については計算量の問題を残している.
  • 一般研究(C), 1994年, 1994年, 06640141, 共形構造及び射影構造に関する幾何学, 小林 治; 山下 靖; 和田 昌昭; 静田 靖; 片桐 民陽; 落合 豊行, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 一般研究(C), 奈良女子大学, 1900000, 1900000, 球面上の閉曲線のトポロジーと幾何については,すべての自己交点において2つの単純ループに分解可能な閉曲線の最小頂点数を決定した。この結果により自己交点数が5以下のすべての閉曲線の位相型について最小自己交点数が明らかになった。この研究と関連してトーラス上の閉曲線の回転指数についての新たな公式を得た。これは正則ホモトピーについての結果であり,今後の高次元化へ進む足がかりとなりうるものである。 共形変換で不変な変分問題に関する研究として,研究分担者の片桐はYang-Mills接続の存在定理を5次元以上のRiemann多様体において示した。これは5次元以上ではこの変分問題が共形変換での不変性を失うことに着眼点をおき得られたものである。 射影構造に関する内在的な幾何の研究については研究は継続中である。射影反転の多様体での定式化がこの報告書を書いている時点での課題である。 双曲幾何に関しては,関連する3次元多様体論,結び目理論から分担者の落合,山下,和田による成果があった。落合,山下は結び目理論研究支援システムの設計を行い,また和田は新たな結び目不変量を定義し,それによって樹下・寺阪結び目とConway結び目が区別できるという成果を得た。
  • 一般研究(C), 1993年, 1993年, 05640113, 共形構造及び射影構造の幾何に関する研究, 小林 治; 山下 靖; 藤田 収; 静田 靖; 加藤 信; 落合 豊行, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 一般研究(C), 奈良女子大学, 2000000, 2000000, 1)球面曲線のMobius幾何として,閉曲線の頂点の研究。この課題に対しては今年度としては十分な成果を得たといえる(研究代表者による論文Geometry of Scrolls(共著)は,現在投稿中であるため研究発表欄への記載はない)具体的な成果として単純ループの複合体での頂点数の最良評価,2つの無頂点曲線の交差の決定.応用としていわゆる4頂点定理の最終版に到達したことなどがある。 2)リーマン計量の共形変形とスカラー曲率については研究分担者加藤による研究が注目に値する。中でも与えられた計量が山辺計量であるための新しい十分条件を見いだしたことは,これが比較的単純な観察結果であるにもかかわらず,この方面の今後の研究の中でその価値が認識されるであろうことが期待される。 3)アフィン構造,射影構造の内在的微分幾何に関しては上記1)の研究に力点をうつしたため今年度の具体的成果はない。来年度に継続する課題としたい。 4)共形幾何,射影幾何に関連する双曲幾何について,研究分担者山下による双曲多様体の多面体分割についての研究が,トポロジーからの視点であるが,なされた。これは分割の仕方の組み合わせ論的制限と双曲多様体の位相について論じたものである。
  • 基盤研究(C), 2021年04月01日, 2024年03月31日, 21K03259, 擬アノソフ写像の不変量, 小島 定吉; 山下 靖, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 早稲田大学, 4160000, 3200000, 960000


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